Considere a função definida por
f(x)=arcsen(1x)
(a) Determine o domínio e o contradomínio da função f.

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem (contradomínio efetivo) da função definida por . Vamos usar conceitos de funções compostas e restrição de domínio por meio do valor interno em uma .

Passo 2

Para que esteja bem definido precisamos ter arcsen(u). No nosso caso uin[-1,1], então impomos:
u=1/x
Resolver essa dupla desigualdade: separando em dois casos de sinal de -1<= 1x<= 1 :
– Se x, multiplicando por x>0 positivo:
x
– Se -1<= 1x<= 1 Longrightarrow -x<= 1 <= x Longrightarrow x>= 1 , multiplicando por x<0 negativo inverte desigualdades:
x
Combinando e lembrando que -1<= 1x<= 1 Longrightarrow -x>= 1 >= x Longrightarrow x<= -1 está excluído, o domínio é
x=0

Passo 3

Sabendo que mapeia arcsen em [-1,1], teríamos em princípio esse intervalo como contradomínio natural. Mas vamos ver quais valores [-tfracpi2,tfracpi2] realmente atinge (a imagem). Dizendo f temos
Para y=f(x) em y=arcsenl(1/xr) Long<=ftrightarrow sin y = 1x , y percorre [-tfracpi2,tfracpi2]. Porém sin y só existe (e cai no domínio) se [-1,1]. Logo x=1/sin y.

Passo 4

Verificamos também que nos extremos y=pmtfracpi2 temos sin y=pm1, o que corresponde a x=pm1, ambos permitidos. Já y=0 exigiria x=1/0, impossível. Concluímos que a imagem de f é
Im(f) = [-tfracpi2,tfracpi2]setminus0

Resposta

Domínio: (-infty,-1]cup[1,infty). Imagem (contradomínio efetivo): [-tfracpi2,tfracpi2]setminus0.

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