Considere a função definida por
(a) Determine o domínio e o contradomínio da função
.
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem (contradomínio efetivo) da função definida por . Vamos usar conceitos de funções compostas e restrição de domínio por meio do valor interno em uma .
Passo 2
Para que esteja bem definido precisamos ter
. No nosso caso
, então impomos:
Resolver essa dupla desigualdade: separando em dois casos de sinal de
:
– Se
, multiplicando por
positivo:
– Se
, multiplicando por
negativo inverte desigualdades:
Combinando e lembrando que
está excluído, o domínio é
Passo 3
Sabendo que mapeia
em
, teríamos em princípio esse intervalo como contradomínio natural. Mas vamos ver quais valores
realmente atinge (a imagem). Dizendo
temos
Para
em
,
percorre
. Porém
só existe (e cai no domínio) se
. Logo
.
Passo 4
Verificamos também que nos extremos
temos
, o que corresponde a
, ambos permitidos. Já
exigiria
, impossível. Concluímos que a imagem de
é
Resposta
Domínio:
. Imagem (contradomínio efetivo):
.