Considere a função definida por
f(x)=arcsen(1x)
(b) Mostre que a função é injetiva e caracterize a função inversa da função f.

Passo 1

Estamos olhando para a função f dada por f(x)=arcsen(1/x). O assunto aqui é injetividade e construção de inversa. Vamos precisar identificar o domínio de f, usar derivada para testar monotonicidade (e assim injetividade) e depois resolver y=arcsen(1/x) para achar f^{-1}.

Passo 2

Primeiro achamos o domínio de f: como arcsen(u) exige -1\le u\le1 e aqui u=1/x, precisamos de |1/x|\le1, isto é |x|\ge1. Logo Dom(f)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty). Para verificar injetividade, calculamos a derivada f’(x). Sabendo que (arcsen(u))’=u’/\sqrt{1-u^2}, temos u=1/x, u’=-1/x^2, e portanto
f'(x)=-1/x^2raiz1-(1/x)^2=-1|x|raizx^2-1<0para todo x em Dom(f)

Passo 3

Como f’ é sempre negativa em cada parte do domínio, f é estritamente decrescente em (-\infty,-1] e em [1,\infty), e seus valores em cada ramo não se misturam (em x>1 f(x)>0, em x<-1 f(x)<0). Logo f é injetiva.

Passo 4

Para achar a inversa, escrevemos y=arcsen(1/x). Aplicando seno dos dois lados, vem sin(y)=1/x, o que dá
x=1sin(y)

Passo 5

Reconhecemos que f^{-1}(y)=1/\sin(y), com y variando em Im(f). Como f(1)=\pi/2 e f(-1)=-\pi/2 e f nunca atinge 0, a imagem é [-\pi/2,\pi/2]\setminus{0}. Portanto f^{-1}:[-\pi/2,\pi/2]\setminus{0}\to(-\infty,-1]\cup[1,\infty) definida por f^{-1}(y)=1/\sin(y).

Resposta

A função f é estritamente decrescente em cada componente de seu domínio e, portanto, injetiva em (-\infty,-1]\cup[1,\infty). Sua inversa é
f^-1(y)=1sin(y),
com domínio y\in[-\pi/2,\pi/2]\setminus{0} e imagem (-\infty,-1]\cup[1,\infty).

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