Considere a função dada por f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}.
a) Quantos pontos críticos a função f possui?
\square 1
0
3

Passo 1

O enunciado pede o número de pontos críticos da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}.
Conteúdo: derivadas e definição de ponto crítico (ponto no domínio onde f'=0 ou f' não existe).

Passo 2

Determinar o domínio de f.
O denominador não pode ser zero, logo
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) usando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{(2x)(x-2)-x^{2}\cdot1}{(x-2)^{2}} =\frac{2x^{2}-4x - x^{2}}{(x-2)^{2}} =\frac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}} =\frac{x(x-4)}{(x-2)^{2}}.

Passo 4

Encontrar onde f'(x)=0.
\frac{x(x-4)}{(x-2)^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=4.
Ambos estão no domínio de f.

Passo 5

Verificar onde f' não existe: o denominador zera em x=2, mas x=2 não pertence ao domínio de f, então não é ponto crítico.

Resposta

A função possui 2 pontos críticos.

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