Determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f e (b) use a parte (a) para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} sobre a curva C dada.
13. \mathbf{F}(x, y)=x y^{2} \mathbf{i}+x^{2} y \mathbf{j}, C: \mathbf{r}(t)=\left\langle t+\operatorname{sen} \frac{1}{2} \pi t, t+\cos \frac{1}{2} \pi t\right\rangle, 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar uma função potencial f(x,y) tal que
\nabla f(x,y)=\mathbf{F}(x,y) = x y^{2}\,\mathbf{i} + x^{2}y\,\mathbf{j}.
  1. Usar esse potencial para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
    ao longo de
\mathbf{r}(t)=\bigl\langle\,t+\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}t\bigr),\;t+\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}t\bigr)\bigr\rangle, \quad 0\le t\le1.
O conteúdo envolvido é campo conservativo, potencial escalar e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Primeiro, verificamos que \mathbf{F} é conservativo num domínio simplesmente conexo \mathbb{R}^2. Basta checar
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^2\bigr) =2xy, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2y\bigr) =2xy.
Como são iguais, existe potencial f.

Passo 3

Para achar f, integramos a componente x y^2 em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = x\,y^2 \quad\Longrightarrow\quad f(x,y)=\int x\,y^2\,dx =\tfrac12\,x^2\,y^2 + g(y).
Agora igualamos \partial f/\partial y à segunda componente de \mathbf{F}:
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2\,y + g'(y) \stackrel{!}{=} x^2\,y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0 \;\Rightarrow\;g(y)=\text{constante}.
Podemos escolher a constante zero. Logo
f(x,y)=\tfrac12\,x^2\,y^2.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para um campo gradiente vale
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =f\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr).
Calculamos os pontos inicial e final:
\mathbf{r}(0) =\bigl\langle 0+\sin0,\;0+\cos0\bigr\rangle =\langle0,1\rangle,
\mathbf{r}(1) =\bigl\langle1+\sin(\tfrac\pi2),\;1+\cos(\tfrac\pi2)\bigr\rangle =\langle2,1\rangle.
Então
f\bigl(2,1\bigr) =\tfrac12\cdot2^2\cdot1^2 =2, \qquad f\bigl(0,1\bigr) =\tfrac12\cdot0^2\cdot1^2 =0,
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\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =2-0=2.

Resposta

A função potencial é
f(x,y)=\tfrac12\,x^2\,y^2
e o valor da integral de linha é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2.

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