Determine uma função
tal que
e (b) use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
13.
,
13.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar uma função potencial
tal que
- Usar esse potencial para calcular a integral de linha
ao longo de
O conteúdo envolvido é campo conservativo, potencial escalar e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Primeiro, verificamos que
é conservativo num domínio simplesmente conexo
. Basta checar
Como são iguais, existe potencial
.
Passo 3
Para achar
, integramos a componente
em relação a
:
Agora igualamos
à segunda componente de
:
Podemos escolher a constante zero. Logo
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para um campo gradiente vale
Calculamos os pontos inicial e final:
Então
logo
Resposta
A função potencial é
e o valor da integral de linha é