Determine uma função
tal que
e (b) use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
17.
,
17.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e a curva parametrizada
Pede-se (a) encontrar uma função escalar
tal que
(isto é, provar que
é conservativo e achar seu potencial) e (b) usar isso para calcular
Passo 2
Para achar
, note que pelas componentes de
temos
Integramos primeiro em relação a
usando
:
onde
é função “fantasma” de
e
.
Passo 3
Agora impomos a compatibilidade com as demais derivadas.
– Se , então
– Se
logo
não depende de
.
– Em seguida, da condição em :
– Em seguida, da condição em
Assim
é constante e podemos tomar
Passo 4
Como
, vale o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos:
Basta portanto avaliar
nos extremos de
.
Passo 5
Calculamos
Logo
e
Resposta
(a)
(b)
(b)