Determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f e (b) use a parte (a) para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} sobre a curva C dada.
17. \mathbf{F}(x, y, z)=y z e^{x z} \mathbf{i}+e^{x z} \mathbf{j}+x y e^{x z} \mathbf{k}, C: \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}+1\right) \mathbf{i}+\left(t^{2}-1\right) \mathbf{j}+\left(t^{2}-2 t\right) \mathbf{k}, 0 \leqslant t \leqslant 2

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(yz\,e^{xz},\;e^{xz},\;xy\,e^{xz}\bigr)
e a curva parametrizada
\mathbf{r}(t)=(t^2+1,\;t^2-1,\;t^2-2t),\quad 0\le t\le2.
Pede-se (a) encontrar uma função escalar f tal que \nabla f=\mathbf{F} (isto é, provar que \mathbf{F} é conservativo e achar seu potencial) e (b) usar isso para calcular \displaystyle \int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Para achar f, note que pelas componentes de \mathbf{F} temos
\frac{\partial f}{\partial x}=yz\,e^{xz},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=e^{xz},\quad \frac{\partial f}{\partial z}=xy\,e^{xz}.
Integramos primeiro em relação a y usando \partial f/\partial y=e^{xz}:
f(x,y,z)=y\,e^{xz}+g(x,z),
onde g é função “fantasma” de x e z.

Passo 3

Agora impomos a compatibilidade com as demais derivadas.
– Se \displaystyle f(x,y,z)=y\,e^{xz}+g(x,z), então
\frac{\partial f}{\partial x} = y\cdot z\,e^{xz} + \frac{\partial g}{\partial x} \overset{!}{=} yz\,e^{xz} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial x}=0,
logo g não depende de x.
– Em seguida, da condição em z:
\frac{\partial f}{\partial z} = y\cdot x\,e^{xz} + g'(z) \overset{!}{=} xy\,e^{xz} \quad\Longrightarrow\quad g'(z)=0.
Assim g é constante e podemos tomar
\boxed{f(x,y,z)=y\,e^{xz}.}

Passo 4

Como \mathbf{F}=\nabla f, vale o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\mathbf{r}(2)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr).
Basta portanto avaliar f nos extremos de t.

Passo 5

Calculamos
\mathbf{r}(2)=(5,3,0), \quad \mathbf{r}(0)=(1,-1,0).
Logo
f(5,3,0)=3\,e^{5\cdot0}=3, \quad f(1,-1,0)=-1\,e^{1\cdot0}=-1,
e
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =3-(-1)=4.

Resposta

(a) \displaystyle f(x,y,z)=y\,e^{xz}.
(b) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=4.

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