Considere a função dada por
.
Analise a convexidade de
e calcule (caso existam) os pontos de inflexão.
Analise a convexidade de
Passo 1
Neste exercício vamos analisar a convexidade da função e identificar possíveis pontos de inflexão. O conteúdo envolve derivadas de primeira e segunda ordem e o critério de convexidade via f’’(x).
Passo 2
Calcule a derivada primeira de
. Usando regras de derivação temos:
Passo 3
Calcule a derivada segunda. Derivando
obtemos:
Passo 4
Analise o sinal de
. Como
(domínio de
), temos
e portanto
para todo
. Pelo critério de convexidade,
é estritamente convexa em
.
Passo 5
Verifique a existência de pontos de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre quando
ou muda de sinal. Aqui
é sempre positivo e nunca zero, logo não há mudança de concavidade nem pontos de inflexão.
Resposta
A função é estritamente convexa em
e não possui pontos de inflexão.