Considere a função dada por f(x)=x-log (x).
Analise a convexidade de f e calcule (caso existam) os pontos de inflexão.

Passo 1

Neste exercício vamos analisar a convexidade da função e identificar possíveis pontos de inflexão. O conteúdo envolve derivadas de primeira e segunda ordem e o critério de convexidade via f’’(x).

Passo 2

Calcule a derivada primeira de f(x)=x-log(x). Usando regras de derivação temos: f'(x)=ddx(x)-ddxl(log(x)r)=1-1x

Passo 3

Calcule a derivada segunda. Derivando f'(x)=1-tfrac1x obtemos: f''(x)=ddxl(1r)-ddxl(x^-1r)=0+ x^-2=1x^2

Passo 4

Analise o sinal de f''(x). Como x>0 (domínio de log(x)), temos x^2>0 e portanto f''(x)=tfrac1x^2>0 para todo x>0. Pelo critério de convexidade, f é estritamente convexa em (0,infty).

Passo 5

Verifique a existência de pontos de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre quando f''(x)=0 ou muda de sinal. Aqui f''(x) é sempre positivo e nunca zero, logo não há mudança de concavidade nem pontos de inflexão.

Resposta

A função é estritamente convexa em (0,infty) e não possui pontos de inflexão.

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