Considere a função dada por f(x)=x-log (x).
Determine o domínio da função f e analise a continuidade e calcule as assintotas de f, caso existam.

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x-log(x); o que pedem é achar o domínio, verificar onde ela é contínua e estudar possíveis assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas). Isso faz parte de análise de funções, mais especificamente de estudar domínio e comportamento no infinito.

Passo 2

Para o domínio, basta lembrar que log(x) só faz sentido quando x>0. Como x é livre e log(x) exige x>0, concluímos que
Dom(f)=(0,infty)

Passo 3

A continuidade: tanto a função identidade xmapsto x quanto xmapsto log(x) são contínuas em (0,infty). A soma (ou diferença) de funções contínuas também é contínua no mesmo domínio. Logo,
f é contínua em (0,infty)éí

Passo 4

Agora as assíntotas. Primeiro, assíntota vertical em x=0? Vejamos o limite à esquerda do domínio.
limxto0^+f(x)=limxto0^+l(x-log(x)r)=0 - (-infty)=+infty
Esse crescimento sem limite faz com que a reta x=0 seja assíntota vertical.

Passo 5

Em seguida, não há espaço para assíntota horizontal, pois
limxtoinftyf(x)=limxtoinftyl(x-log(x)r)=+infty
e
limxto0^+f(x)=+infty já usamos antes. Nenhum desses limites é finito, então não há assíntota y=k.

Passo 6

Por fim, assíntota oblíqua em xtoinfty? Calculamos o coeficiente angular
m=limxtoinftyf(x)x=limxtoinftyl(1-log(x)xr)=1
e o coeficiente linear
b=limxtoinftyl(f(x)-mxr)=limxtoinftyl(x-log(x)-xr)=-limxtoinftylog(x)=-infty

Passo 7

Como b diverge, não há reta oblíqua de forma y=mx+b com b finito.
Concluímos:
final_answer

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