Seja
dada por
.
Calcule (e classifique) os extremos locais de
.
Calcule (e classifique) os extremos locais de
Passo 1
Temos a função
definida por
. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular o gradiente para achar pontos críticos e usar a matriz Hessiana para classificar esses pontos.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Igualando a zero para achar pontos críticos, temos o sistema
que implica
e
. A única solução comum é
, ou seja, o ponto crítico é
.
Passo 3
A matriz Hessiana de
é a matriz das segundas derivadas:
Para classificar o ponto crítico, examinamos os principais determinantes:
-
. -
Como todos os determinantes principais são positivos, a Hessiana é definida positiva.
Passo 4
Como a Hessiana é definida positiva em
, concluímos que
possui um mínimo local em
.
Resposta
O único extremo local é um mínimo em
, com valor
.