Seja g: R^2 R dada por g(x, y)=3 x^2-2 x y+y^2-1.
Calcule (e classifique) os extremos locais de g.

Passo 1

Temos a função g: R^2 to R definida por g(x,y)=3x^2-2xy+y^2-1. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular o gradiente para achar pontos críticos e usar a matriz Hessiana para classificar esses pontos.

Passo 2

Calculamos o gradiente de g:
nabla g(x,y)=l(partial gpartial x,,partial gpartial yr) =l(6x-2y,,-2x+2yr)
Igualando a zero para achar pontos críticos, temos o sistema
6x-2y=0,
-2x+2y=0
que implica y=3x e y=x. A única solução comum é x=0,y=0, ou seja, o ponto crítico é (0,0).

Passo 3

A matriz Hessiana de g é a matriz das segundas derivadas:
Hg(x,y)=6 & -2-2 & 2
Para classificar o ponto crítico, examinamos os principais determinantes:
  • D1 = 6 > 0.
  • D2 = det Hg = 6cdot2 - (-2)^2 =12-4=8 > 0
    Como todos os determinantes principais são positivos, a Hessiana é definida positiva.

Passo 4

Como a Hessiana é definida positiva em (0,0), concluímos que g possui um mínimo local em (0,0).

Resposta

O único extremo local é um mínimo em (0,0), com valor g(0,0)=-1.

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