Seja
dada por
.
Calcule a derivada de
no ponto
na direção do vetor
, i.e., calcule
.
Calcule a derivada de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas direcionais. O objetivo é encontrar a derivada da função $ g(x, y) = 3x^{2} - 2xy + y^{2} - 1 $ no ponto $ p = (1, 2) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como calcular o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular a derivada direcional de $ g $ na direção de $ \mathbf{u} $, usamos o gradiente da função e o vetor direcional. A fórmula é:
onde $ \nabla g $ é o gradiente de $ g $ e $ \cdot $ representa o produto escalar.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função $ g(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ p = (1, 2) $:
Passo 5
Verificamos que o vetor $ \mathbf{u} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ já é um vetor unitário, ou seja, tem magnitude 1. Isso é importante porque a fórmula da derivada direcional usa um vetor de direção unitário.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar entre o gradiente em $ p $ e o vetor $ \mathbf{u} $:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada de $ g $ no ponto $ p = (1, 2) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} $ é igual a 0.