Seja g: R^2 R dada por g(x, y)=3 x^2-2 x y+y^2-1.
Calcule a derivada de g no ponto p=(1,2) na direção do vetor u=(-raiz22, raiz22), i.e., calcule partial gpartial u(p).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas direcionais. O objetivo é encontrar a derivada da função $ g(x, y) = 3x^{2} - 2xy + y^{2} - 1 $ no ponto $ p = (1, 2) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como calcular o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular a derivada direcional de $ g $ na direção de $ \mathbf{u} $, usamos o gradiente da função e o vetor direcional. A fórmula é:
g
onde $ \nabla g $ é o gradiente de $ g $ e $ \cdot $ representa o produto escalar.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função $ g(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
g(x, y)
Calculando as derivadas parciais:
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y )
partial gpartial x = 6x - 2y
Portanto,
partial gpartial y = -2x + 2y

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ p = (1, 2) $:
p = (1, 2)

Passo 5

Verificamos que o vetor $ \mathbf{u} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ já é um vetor unitário, ou seja, tem magnitude 1. Isso é importante porque a fórmula da derivada direcional usa um vetor de direção unitário.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar entre o gradiente em $ p $ e o vetor $ \mathbf{u} $:
p
Calculando o produto escalar:
u

Resposta

A derivada de $ g $ no ponto $ p = (1, 2) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} $ é igual a 0.

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