Considere a função dada por f(x)=x-log (x).
Analise a monotonia de f e calcule (caso existam) os extremos locales.

Passo 1

Temos a função f(x)=x-log(x). O conteúdo é estudo de monotonia e extremos locais, e vamos precisar usar derivadas para isso.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Sabemos que a derivada de x é 1 e de log(x) é 1/x. Assim temos:
f'(x)=1-1x=x-1x

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x)=x-1x no domínio x>0: o denominador x é sempre positivo. Logo o sinal vem de x-1. Para 0, x-1<0 e f'(x)<0; para x>1, x-1>0 e f'(x)>0. Concluímos que f é decrescente em (0,1) e crescente em (1,infty).

Passo 4

O único ponto crítico ocorre quando f'(x)=0, isto é x=1. Como f' muda de negativo para positivo em x=1, temos um mínimo local ali. Calculando o valor: f(1)=1-log(1)=1.

Resposta

A função é decrescente em (0,1) e crescente em (1,∞), e possui um único mínimo local em x=1, com f(1)=1.

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