Considere a função dada por
.
Analise a monotonia de
e calcule (caso existam) os extremos locales.
Analise a monotonia de
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é estudo de monotonia e extremos locais, e vamos precisar usar derivadas para isso.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Sabemos que a derivada de
é 1 e de
é
. Assim temos:
Passo 3
Analisando o sinal de
no domínio
: o denominador
é sempre positivo. Logo o sinal vem de
. Para
,
e
; para
,
e
. Concluímos que
é decrescente em
e crescente em
.
Passo 4
O único ponto crítico ocorre quando
, isto é
. Como
muda de negativo para positivo em
, temos um mínimo local ali. Calculando o valor:
.
Resposta
A função é decrescente em (0,1) e crescente em (1,∞), e possui um único mínimo local em x=1, com f(1)=1.