Considere a função f: R^2 R dada por f(x, y)=e^x y-1.
Considere o ponto p=(1,0), determine um vetor unitário u tal que partial fpartial u(p) é máxima.

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR dada por f(x,y)=e^xy-1 e pede um vetor unitário u em que a derivada direcional de f em p=(1,0) seja máxima. O conteúdo principal envolve derivadas parciais, o gradiente e a noção de derivada direcional.

Passo 2

Para encontrar o vetor que maximiza a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente de f. Lembrando que o gradiente é o vetor das derivadas parciais, temos:
$$\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},,\frac{\partial f}{\partial y}\right)
=\left(y e^{xy},,x e^{xy}\right). nabla f(x,y)=(partial fpartial x,,partial fpartial y) =(y e^xy,,x e^xy)\nabla f(1,0)=\bigl(0\cdot e^{0},,1\cdot e^{0}\bigr)=(0,1).$$
Sabendo que a derivada direcional de p=(1,0) em x=1 na direção unitária y=0 é dada por nabla f(1,0)=l(0cdot e^0,,1cdot e^0r)=(0,1), a maior taxa de variação ocorre quando f está na mesma direção de p. Como u já é unitário, basta escolher essa direção.

Resposta

u=(0,1)

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