Considere a função
dada por
.
Considere o ponto
, determine um vetor unitário
tal que
é máxima.
Considere o ponto
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
e pede um vetor unitário
em que a derivada direcional de
em
seja máxima. O conteúdo principal envolve derivadas parciais, o gradiente e a noção de derivada direcional.
Passo 2
Para encontrar o vetor que maximiza a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente de
. Lembrando que o gradiente é o vetor das derivadas parciais, temos:
$$\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},,\frac{\partial f}{\partial y}\right)
=\left(y e^{xy},,x e^{xy}\right).
\nabla f(1,0)=\bigl(0\cdot e^{0},,1\cdot e^{0}\bigr)=(0,1).$$
Sabendo que a derivada direcional de
em
na direção unitária
é dada por
, a maior taxa de variação ocorre quando
está na mesma direção de
. Como
já é unitário, basta escolher essa direção.