Seja dada por .
Determine a equação da reta tangente à curva dada pela equação no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas implícitas e retas tangentes a curvas. Vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico, precisamos determinar a inclinação dessa reta, ou seja, a derivada no ponto dado. Como a equação da curva é implícita (não está isolada em termos de ), vamos usar a derivada implícita.
Passo 3
Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que teremos:
Passo 4
Agora, vamos derivar termo a termo:
A derivada de em relação a é .
Para a derivada de , usamos a regra do produto: .
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Agora, agrupamos os termos que contêm :
Passo 6
Fatoramos do lado esquerdo:
Agora, isolamos :
Passo 7
Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por 2:
Passo 8
Agora, substituímos as coordenadas do ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 9
Sabemos que a equação da reta tangente tem a forma y = m x + b, onde m é a inclinação e b é o coeficiente linear. Já encontramos m = 1 e sabemos que a reta passa pelo ponto (0, 1). Substituindo na equação:
1 = 1 cdot 0 + b Rightarrow b = 1
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto q = (0, 1) é y = x + 1.