Seja g: R^2 R dada por g(x, y)=3 x^2-2 x y+y^2-1.
Determine a equação da reta tangente à curva dada pela equação 3 x^2-2 x y+y^2=1 no ponto q=(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva definida por 3x^2 - 2xy + y^2 = 1 no ponto q = (0, 1). Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas implícitas e retas tangentes a curvas. Vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico, precisamos determinar a inclinação dessa reta, ou seja, a derivada dy/dx no ponto dado. Como a equação da curva é implícita (não está isolada em termos de y), vamos usar a derivada implícita.

Passo 3

Vamos começar derivando ambos os lados da equação 3x^2 - 2xy + y^2 = 1 em relação a x. Isso significa que teremos:
ddx(3x^2) - ddx(2xy) + ddx(y^2) = ddx(1)

Passo 4

Agora, vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de 3x^2 em relação a x é 6x.
  • Para a derivada de 2xy, usamos a regra do produto: ddx(2xy) = 2y + 2xdydx.
  • A derivada de y^2 em relação a x é 2ydydx.
  • A derivada de 1 em relação a x é 0.
Então, temos:
6x - (2y + 2xdydx) + 2ydydx = 0

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
6x - 2y - 2xdydx + 2ydydx = 0
Agora, agrupamos os termos que contêm dydx:
-2xdydx + 2ydydx = -6x + 2y

Passo 6

Fatoramos dydx do lado esquerdo:
dydx(-2x + 2y) = -6x + 2y
Agora, isolamos dydx:
dydx = -6x + 2y-2x + 2y

Passo 7

Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por 2:
dydx = -3x + y-x + y

Passo 8

Agora, substituímos as coordenadas do ponto q = (0, 1) na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
dydxg|(0,1) = -3(0) + 1-0 + 1 = 11 = 1

Passo 9

Sabemos que a equação da reta tangente tem a forma y = m x + b, onde m é a inclinação e b é o coeficiente linear. Já encontramos m = 1 e sabemos que a reta passa pelo ponto (0, 1). Substituindo na equação:
1 = 1 cdot 0 + b Rightarrow b = 1

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto q = (0, 1) é y = x + 1.

Exercícios relacionados