Considere a função dada por
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Podemos afirmar que a função
:
Onão é crescente nem decrescente
é crescente
é decrescente
Podemos afirmar que a função
Onão é crescente nem decrescente
é crescente
é decrescente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a função $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3} + 1} $ e pede para a gente dizer se essa função é crescente, decrescente ou nenhuma das duas. Para resolver isso, a gente vai precisar saber um pouco sobre funções e como identificar se elas estão crescendo ou descendo. Vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser crescente ou decrescente. Uma função é crescente se, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta. É decrescente se, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ diminui.
Para saber isso matematicamente, a gente usa a derivada da função. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva em todo lugar, a função é crescente. Se for negativa, é decrescente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3} + 1} $. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) = \frac{x{2}}{(x{3} + 1)^{2/3}} $.
- O numerador $ x^{2} $ é sempre maior ou igual a zero, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero.
- O denominador $ (x^{3} + 1)^{2/3} $ também é sempre positivo, já que estamos elevando ao quadrado a raiz cúbica.
Portanto, $ f’(x) $ é sempre positivo para todo $ x $ real.
Resposta
A função $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3} + 1} $ é crescente em todo o seu domínio.