Resolva as equações diferenciais abaixo e utilize o valor inicial para encontrar a solução particular do problema.
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
E também um valor inicial:
. Isso significa que, quando
, o valor de
é 2. O que vamos precisar para resolver isso é entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e usar o valor inicial para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar um fator integrante, que vai nos ajudar a resolver a equação.
Passo 3
O fator integrante (
) para uma equação linear de primeira ordem é dado por:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com
. Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução, porque agora podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
A integração do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 8
Agora usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Ou seja:
Passo 9
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Finalmente, substituímos o valor de
na equação geral da solução:
Simplificando:
Podemos também escrever de forma mais simplificada:
Resposta
A solução particular do problema é: