Resolva as equações diferenciais abaixo e utilize o valor inicial para encontrar a solução particular do problema.
y^prime-2 y=e^x com y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
y^prime - 2y = e^x
E também um valor inicial: y(1) = 2. Isso significa que, quando x = 1, o valor de y é 2. O que vamos precisar para resolver isso é entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e usar o valor inicial para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
y^prime + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
y^prime - 2y = e^x
Aqui, P(x) = -2 e Q(x) = e^x. O próximo passo é encontrar um fator integrante, que vai nos ajudar a resolver a equação.

Passo 3

O fator integrante ( mu(x)) para uma equação linear de primeira ordem é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = -2, temos:
mu(x) = e^integral -2 dx = e^-2x

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-2x y^prime - 2 e^-2x y = e^-2x e^x
Simplificando o lado direito:
e^-2x e^x = e^-x
Então, a equação fica:
e^-2x y^prime - 2 e^-2x y = e^-x

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com y. Ou seja:
ddx(e^-2x y) = e^-x
Isso facilita bastante a resolução, porque agora podemos integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
integral ddx(e^-2x y) dx = integral e^-x dx
A integração do lado esquerdo simplifica para:
e^-2x y = -e^-x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para y multiplicando ambos os lados por e^2x:
y = -e^-x cdot e^2x + C e^2x
Simplificando:
y = -e^x + C e^2x

Passo 8

Agora usamos a condição inicial y(1) = 2 para encontrar o valor de C. Substituindo x = 1 e y = 2 na equação:
2 = -e^1 + C e^2 cdot 1
Ou seja:
2 = -e + C e^2

Passo 9

Vamos isolar C:
C e^2 = 2 + e
Dividindo ambos os lados por e^2:
C = 2 + ee^2

Passo 10

Finalmente, substituímos o valor de C na equação geral da solução:
y = -e^x + (2 + ee^2) e^2x
Simplificando:
y = -e^x + (2 + e) e^2x - 2
Podemos também escrever de forma mais simplificada:
y = -e^x + (2 + e) e^2x cdot e^-2 = -e^x + 2 + ee^2 e^2x

Resposta

A solução particular do problema é:
y = -e^x + 2 + ee^2 e^2x

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