Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem.
(y sen x+x y cos x) d x+(x sen x+1) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: Precisamos verificar se a equação diferencial (y sin x + x y cos x) dx + (x sin x + 1) dy = 0 é exata e, se for, resolver ela. Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar uma condição de exatidão e, se estiver tudo certo, integrar as partes para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação ser exata. Uma equação da forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é exata se existir uma função F(x, y) tal que dF = M dx + N dy. Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se partial Mpartial y = partial Npartial x.

Passo 3

Identificamos M(x, y) = y sin x + x y cos x e N(x, y) = x sin x + 1. Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y:
    partialpartial y (y sin x + x y cos x) = sin x + x cos x
  • partial Npartial x:
    partialpartial x (x sin x + 1) = sin x + x cos x

Passo 4

Comparando as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = sin x + x cos x = partial Npartial x
Como elas são iguais, a equação é exata!

Passo 5

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = y sin x + x y cos x
Para encontrar F, integramos M em relação a x:
F(x, y) = integral (y sin x + x y cos x) dx
Como y é tratado como constante em relação a x, podemos separar a integral:
F(x, y) = y integral sin x , dx + y integral x cos x , dx + g(y)
Calculando as integrais:
  • integral sin x , dx = -cos x
  • integral x cos x , dx usando integração por partes:
    Seja u = x, dv = cos x dx, então du = dx e v = sin x. integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx = x sin x + cos x
Portanto:
F(x, y) = y (-cos x) + y (x sin x + cos x) + g(y) = y x sin x + g(y)

Passo 6

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = x sin x + g'(y) = N = x sin x + 1
Isso nos dá:
x sin x + g'(y) = x sin x + 1 implies g'(y) = 1
Integrando em relação a y:
g(y) = y + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, temos a função F(x, y):
F(x, y) = y x sin x + y + C
A solução geral da equação diferencial é:
F(x, y) = constante implies y x sin x + y = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y (x sin x + 1) = C, onde C é uma constante.

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