Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: Precisamos verificar se a equação diferencial
é exata e, se for, resolver ela. Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar uma condição de exatidão e, se estiver tudo certo, integrar as partes para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação ser exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que
. Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se
.
Passo 3
Identificamos
e
. Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
-
: -
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata!
Passo 5
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Como
é tratado como constante em relação a
, podemos separar a integral:
Calculando as integrais:
-
-
usando integração por partes:
Seja, , então e .
Portanto:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, temos a função
:
A solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.