Considere a função dada por
.
Quem são os pontos de inflexão de f? (Escreva do menor para o maior)
e
Quem são os pontos de inflexão de f? (Escreva do menor para o maior)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos de inflexão da função $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3}+1} $. Pontos de inflexão são onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $. Usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de $ (u)^{n} $ é $ n \cdot u^{n-1} \cdot u’ $, onde $ u = x^{3} + 1 $ e $ n = \frac{1}{3} $.
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $. Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia novamente.
Primeiro, considere $ f’(x) = x^{2} \cdot (x^{3} + 1)^{-2/3} $.
Derivando isso:
Simplificando:
Podemos fatorar $ 2x (x^{3} + 1)^{-5/3} $:
Então:
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde $ f’’(x) = 0 $ ou é indefinida.
O numerador é zero quando $ 2x = 0 $, ou seja, $ x = 0 $.
O denominador nunca é zero porque $ (x^{3} + 1)^{5/3} $ está sempre positivo para todo $ x $, então não há pontos onde a segunda derivada é indefinida.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se há realmente uma mudança na concavidade em $ x = 0 $. Isso significa verificar o sinal de $ f’’(x) $ antes e depois de $ x = 0 $.
- Para $ x < 0 $, digamos $ x = -1 $:
O denominador tende a zero, mas o numerador é negativo, então $ f’’(x) $ tende a $ -\infty $.
- Para $ x > 0 $, digamos $ x = 1 $:
Então, $ f’’(x) $ muda de negativo para positivo em $ x = 0 $, indicando um ponto de inflexão.
Resposta
O ponto de inflexão da função $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3}+1} $ é $ x = 0 $.