Considere a função dada por f(x)=raiz[3]x^3+1.
Quem são os pontos de inflexão de f? (Escreva do menor para o maior) square e square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos de inflexão da função $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3}+1} $. Pontos de inflexão são onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
f(x) = (x^3 + 1)^1/3

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $. Usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de $ (u)^{n} $ é $ n \cdot u^{n-1} \cdot u’ $, onde $ u = x^{3} + 1 $ e $ n = \frac{1}{3} $.
f'(x)
Simplificando:
(u)^n

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $. Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia novamente.
Primeiro, considere $ f’(x) = x^{2} \cdot (x^{3} + 1)^{-2/3} $.
Derivando isso:
f''(x)
Simplificando:
f'(x) = x^2 cdot (x^3 + 1)^-2/3
Podemos fatorar $ 2x (x^{3} + 1)^{-5/3} $:
f''(x) = 2x cdot (x^3 + 1)^-2/3 + x^2 cdot ( -23 ) (x^3 + 1)^-5/3 cdot 3x^2
f''(x) = 2x (x^3 + 1)^-2/3 - 2x^4 (x^3 + 1)^-5/3
Então:
2x (x^3 + 1)^-5/3

Passo 5

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde $ f’’(x) = 0 $ ou é indefinida.
f''(x) = 0
O numerador é zero quando $ 2x = 0 $, ou seja, $ x = 0 $.
O denominador nunca é zero porque $ (x^{3} + 1)^{5/3} $ está sempre positivo para todo $ x $, então não há pontos onde a segunda derivada é indefinida.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se há realmente uma mudança na concavidade em $ x = 0 $. Isso significa verificar o sinal de $ f’’(x) $ antes e depois de $ x = 0 $.
  • Para $ x < 0 $, digamos $ x = -1 $:
x = 0
O denominador tende a zero, mas o numerador é negativo, então $ f’’(x) $ tende a $ -\infty $.
  • Para $ x > 0 $, digamos $ x = 1 $:
f''(x)
Então, $ f’’(x) $ muda de negativo para positivo em $ x = 0 $, indicando um ponto de inflexão.

Resposta

O ponto de inflexão da função $ f(x) = \sqrt[3]{x^{3}+1} $ é $ x = 0 $.

Exercícios relacionados