Lança-se uma bola, verticalmente de baixo para cima, da altura de 4 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas metade da altura anterior. Qual é a soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma bola que é lançada para cima a partir de uma altura de 4 metros. Depois de cada batida no chão, ela sobe apenas metade da altura anterior. Nosso objetivo é encontrar a soma de todos os deslocamentos verticais que a bola faz até parar completamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas, que são sequências onde cada termo é um múltiplo constante do anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os movimentos da bola:
  1. Primeiro lançamento: A bola sobe 4 metros.
  2. Primeira queda: Depois, ela desce 4 metros.
  3. Segundo lançamento: Ao bater no chão, ela sobe metade da altura anterior, ou seja, $ \frac{4}{2} = 2 $ metros.
  4. Segunda queda: Desce mais 2 metros.
  5. Terceiro lançamento: Sobe $ \frac{2}{2} = 1 $ metro.
  6. Terceira queda: Desce 1 metro.
  7. E assim por diante…

Passo 3

Observamos que após o primeiro lançamento, cada par de subida e descida forma uma sequência onde cada deslocamento é metade do anterior. Essa é uma progressão geométrica com razão $ r = \frac{1}{2} $.
Vamos separar os movimentos:
  • Primeiro movimento: Sobe 4 metros.
  • Movimentos seguintes: Cada subida e descida corresponde a $ 2 \times $ a altura da subida.
Então, a soma total dos deslocamentos será:
r = 12

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma da série geométrica dentro dos parênteses:
S = 2 + 1 + 12 + 14 + dots
Essa é uma série geométrica infinita onde o primeiro termo $ a = 2 $ e a razão $ r = \frac{1}{2} $. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
a = 2

Passo 5

Agora, substituímos essa soma na expressão total dos deslocamentos:
Total = 4 + 2 times 4 = 4 + 8 = 12 metros

Resposta

A soma de todos os deslocamentos efetuados pela bola até repousar é 12 metros.

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