Lança-se uma bola, verticalmente de baixo para cima, da altura de 4 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas metade da altura anterior. Qual é a soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma bola que é lançada para cima a partir de uma altura de 4 metros. Depois de cada batida no chão, ela sobe apenas metade da altura anterior. Nosso objetivo é encontrar a soma de todos os deslocamentos verticais que a bola faz até parar completamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas, que são sequências onde cada termo é um múltiplo constante do anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os movimentos da bola:
- Primeiro lançamento: A bola sobe 4 metros.
- Primeira queda: Depois, ela desce 4 metros.
- Segundo lançamento: Ao bater no chão, ela sobe metade da altura anterior, ou seja, $ \frac{4}{2} = 2 $ metros.
- Segunda queda: Desce mais 2 metros.
- Terceiro lançamento: Sobe $ \frac{2}{2} = 1 $ metro.
- Terceira queda: Desce 1 metro.
- E assim por diante…
Passo 3
Observamos que após o primeiro lançamento, cada par de subida e descida forma uma sequência onde cada deslocamento é metade do anterior. Essa é uma progressão geométrica com razão $ r = \frac{1}{2} $.
Vamos separar os movimentos:
- Primeiro movimento: Sobe 4 metros.
- Movimentos seguintes: Cada subida e descida corresponde a $ 2 \times $ a altura da subida.
Então, a soma total dos deslocamentos será:
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma da série geométrica dentro dos parênteses:
Essa é uma série geométrica infinita onde o primeiro termo $ a = 2 $ e a razão $ r = \frac{1}{2} $. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Passo 5
Agora, substituímos essa soma na expressão total dos deslocamentos:
Resposta
A soma de todos os deslocamentos efetuados pela bola até repousar é 12 metros.