Considere a função dada por f(x, y)=-\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}. Determine o valor do limite ao longo das seguintes curvas:
(b) da reta y=-x;

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y) = -\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
quando nos aproximamos de (0,0) pela reta y=-x. O que vamos usar aqui é a ideia de limite por caminho: basta substituir y=-x em f e estudar o comportamento quando x\to0.

Passo 2

Substituindo y=-x em f, temos
x\,y = x\cdot(-x) = -x^{2},
então
-\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}} = -\frac{-x^{2}}{x^{2}+(-x)^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}} = \frac{x^{2}}{2x^{2}} = \frac{1}{2},
para todo x\neq0.

Passo 3

Como a expressão é constante igual a \tfrac{1}{2} para x\neq0, ao fazermos x\to0 o valor não muda.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=-x}f(x,y)=\frac{1}{2}.

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