Considere a função dada por f(x, y)=-\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}. Determine o valor do limite ao longo das seguintes curvas:
(c) do eixo y;

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y) = -\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
e pede o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) seguindo a curva do eixo y. Para isso, vamos parametrizar o eixo y por x=0 e y\to0.

Passo 2

Ao longo do eixo y, temos x=0. Substituindo em f:
f(0,y) \;=\; -\frac{0\cdot y}{0^{2}+y^{2}} \;=\; 0\,,
para todo y\neq0. Logo, quando y\to0, f(0,y)\to0.

Resposta

O limite de f(x,y) ao longo do eixo y é 0.

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