Considere a função dada por f(x, y)=-\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}. Determine o valor do limite ao longo das seguintes curvas:
(d) da parábola y=x^{2};

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y) = -\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0) restrito à parábola y = x^{2}. Vamos, portanto, substituir y=x^{2} e estudar o limite de uma função de uma variável.

Passo 2

Substituindo y=x^{2} em f(x,y), obtemos
f\bigl(x,\,x^{2}\bigr) = -\frac{x\,(x^{2})}{x^{2}+(x^{2})^{2}} = -\frac{x^{3}}{x^{2}+x^{4}}.

Passo 3

Fatorando x^{2} no denominador,
-\frac{x^{3}}{x^{2}(1+x^{2})} = -\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite da função de uma variável quando x\to0:
\lim_{x\to0}\Bigl(-\frac{x}{1+x^{2}}\Bigr) = -\frac{0}{1+0} = 0.

Resposta

O limite ao longo da parábola y=x^{2} é 0.

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