1. Considere a função dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{4}+y^{4}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & , \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
a) Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
b) Verifique se f é diferenciável na origem (Justifique sua resposta!)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos:
  • A função é
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
  • Perguntas:
    (a) Determinar \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
    (b) Verificar se f é diferenciável na origem (com justificativa).]

Passo 2

Primeiro lembro a definição de derivada parcial na origem (no eixo x): a derivada parcial de f em x na origem é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Aqui avaliamos f em pontos da forma (h,0). Para (h,0) com h\neq0 temos, pegando os termos da definição da função,
f(h,0)=\frac{h^{2}\cdot 0^{2}}{h^{4}+0^{4}}=0.
Portanto o quociente da definição é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0
para todo h\neq0. Assim o limite quando h\to0 é 0. Conclusão:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.

Passo 3

Analogamente, uso a definição de derivada parcial em y na origem:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}.
Avalio f(0,h) para h\neq0:
f(0,h)=\frac{0^{2}\cdot h^{2}}{0^{4}+h^{4}}=0.
Logo
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0,
e o limite é 0. Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Passo 4

Agora a diferenciabilidade. Vou lembrar o que significa: f é diferenciável na origem se existir uma aplicação linear L(x,y)=a x + b y (que coincide com o gradiente) tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Como já encontramos \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, o candidato a linear é L\equiv0. Assim, para ser diferenciável precisaríamos ter
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Mas antes disso há um teste simples: diferenciabilidade implica continuidade. Se f não for contínua na origem, não pode ser diferenciável. Vou verificar continuidade.

Passo 5

Testo limites por caminhos. Se eu for pelo caminho y=x (com x\neq0), então
f(x,x)=\frac{x^{2}\cdot x^{2}}{x^{4}+x^{4}}=\frac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}.
Portanto
\lim_{x\to0}f(x,x)=\frac{1}{2}\neq 0=f(0,0).
Isto mostra que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) depende do caminho e, em particular, não é igual a f(0,0). Conclusão: f não é contínua na origem.

Passo 6

Como f não é contínua na origem, segue imediatamente que f não é diferenciável na origem (diferenciabilidade implica continuidade). Observação didática final: este exemplo ilustra que a existência das derivadas parciais (aqui existem e valem zero) não garante continuidade nem diferenciabilidade; é necessário checar a definição completa de diferenciabilidade ou, mais simples, verificar continuidade.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0
f não é diferenciável na origem.

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