a) Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
b) Verifique se f é diferenciável na origem (Justifique sua resposta!)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos:
Perguntas:
(a) Determinar \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
(b) Verificar se f é diferenciável na origem (com justificativa).]
Passo 2
Primeiro lembro a definição de derivada parcial na origem (no eixo x): a derivada parcial de f em x na origem é o limite
Agora a diferenciabilidade. Vou lembrar o que significa: f é diferenciável na origem se existir uma aplicação linear L(x,y)=a x + b y (que coincide com o gradiente) tal que
Como já encontramos \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, o candidato a linear é L\equiv0. Assim, para ser diferenciável precisaríamos ter
Mas antes disso há um teste simples: diferenciabilidade implica continuidade. Se f não for contínua na origem, não pode ser diferenciável. Vou verificar continuidade.
Passo 5
Testo limites por caminhos. Se eu for pelo caminho y=x (com x\neq0), então
Isto mostra que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) depende do caminho e, em particular, não é igual a f(0,0). Conclusão: f não é contínua na origem.
Passo 6
Como f não é contínua na origem, segue imediatamente que f não é diferenciável na origem (diferenciabilidade implica continuidade). Observação didática final: este exemplo ilustra que a existência das derivadas parciais (aqui existem e valem zero) não garante continuidade nem diferenciabilidade; é necessário checar a definição completa de diferenciabilidade ou, mais simples, verificar continuidade.
Resposta
\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0 f não é diferenciável na origem.