(Valor : 1,0 cada) -Calcule \frac{d y}{d x} nos casos abaixo :
x^{2}+8 y-e^{2 x}=9

Passo 1

O enunciado fornece a relação implícita entre x e y:
x^{2}+8 y-e^{2 x}=9.
O que se pede é calcular \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de y em relação a x, supondo y função de x.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Ao fazer isso, lembrar que y depende de x, então a derivada de y é \dfrac{dy}{dx}. Escrevendo a derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+8y-e^{2x}\bigr)=\frac{d}{dx}(9).
Agora calculamos termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(8y\bigr)=8\cdot\dfrac{dy}{dx} (constante vezes função).
  • Para \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr) usamos a regra da cadeia: se u=2x então \dfrac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\dfrac{du}{dx}=e^{2x}\cdot 2. Portanto \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)=2e^{2x}.
  • \dfrac{d}{dx}(9)=0.
Substituindo:
2x + 8\frac{dy}{dx} - 2e^{2x} = 0.

Passo 3

Isolamos \dfrac{dy}{dx}. Primeiro passamos os termos sem \dfrac{dy}{dx} para o outro lado:
8\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} - 2x.

Passo 4

Dividimos ambos os lados por 8 para obter \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}-2x}{8}.
Fatorando 2 no numerador e simplificando:
\frac{dy}{dx} = \frac{2\bigl(e^{2x}-x\bigr)}{8} = \frac{e^{2x}-x}{4}.

Passo 5

Pra firmar a intuição: por exemplo, no ponto x=0 a derivada vale
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0} = \frac{e^{0}-0}{4}=\frac{1}{4},
ou seja, a inclinação da curva implícita em x=0 é 1/4. Vai dar tudo certo — pratica esses passos e fica mais automático na prova!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{e^{2x}-x}{4}

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