O enunciado fornece a relação implícita entre x e y:
x^{2}+8 y-e^{2 x}=9.
O que se pede é calcular \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de y em relação a x, supondo y função de x.
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Ao fazer isso, lembrar que y depende de x, então a derivada de y é \dfrac{dy}{dx}. Escrevendo a derivada:
\dfrac{d}{dx}\bigl(8y\bigr)=8\cdot\dfrac{dy}{dx} (constante vezes função).
Para \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr) usamos a regra da cadeia: se u=2x então \dfrac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\dfrac{du}{dx}=e^{2x}\cdot 2. Portanto \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)=2e^{2x}.
\dfrac{d}{dx}(9)=0.
Substituindo:
2x + 8\frac{dy}{dx} - 2e^{2x} = 0.
Passo 3
Isolamos \dfrac{dy}{dx}. Primeiro passamos os termos sem \dfrac{dy}{dx} para o outro lado:
8\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} - 2x.
Passo 4
Dividimos ambos os lados por 8 para obter \dfrac{dy}{dx}: