Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto P indicado f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad P=(0,0)\right.
e o ponto P=(0,0).
A pergunta é: verificar se f é contínua em P, isto é, se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0.]
Passo 2
Lembrando a definição prática de continuidade em um ponto: f é contínua em P se, quando (x,y) se aproxima de P, f(x,y) se aproxima de f(P). Em símbolos precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Vou mostrar isso provando que o valor absoluto de f(x,y) pode ser limitado por uma expressão que tende a zero quando (x,y)\to(0,0).
Passo 3
Calcule o valor absoluto e use uma desigualdade simples: