Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto P indicado
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad P=(0,0)\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e o ponto P=(0,0).
A pergunta é: verificar se f é contínua em P, isto é, se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0.]

Passo 2

Lembrando a definição prática de continuidade em um ponto: f é contínua em P se, quando (x,y) se aproxima de P, f(x,y) se aproxima de f(P). Em símbolos precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Vou mostrar isso provando que o valor absoluto de f(x,y) pode ser limitado por uma expressão que tende a zero quando (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Calcule o valor absoluto e use uma desigualdade simples:
\left|f(x,y)\right| =\left|\frac{2x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| =2\,|x|\cdot\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Observe que, para (x,y)\neq(0,0), tem-se x^{2}+y^{2}>0 e portanto
0\le \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1.
Logo
\left|f(x,y)\right|\le 2\,|x|.

Passo 4

Agora note que quando (x,y)\to(0,0) temos |x|\to 0. Pela desigualdade anterior segue que \left|f(x,y)\right|\to 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0,
que é exatamente f(0,0). Isso já mostra continuidade em termos intuitivos.

Passo 5

Para ficar completamente formal, apresento uma prova \varepsilon- \delta:
Seja \varepsilon>0. Tome \delta=\varepsilon/2. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |x|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta e, usando a desigualdade do Passo 3,
\left|f(x,y)\right|\le 2|x|\le 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}<2\delta=\varepsilon.
Assim, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos |f(x,y)-0|<\varepsilon, o que prova que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 6

Como verificação alternativa (opcional), em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta obtém-se
f(r,\theta)=2r\cos\theta\sin^{2}\theta,
e claramente |f(r,\theta)|\le 2r\to 0 quando r\to 0. Isso confirma o resultado e mostra que o limite não depende da direção de aproximação.

Resposta

A função é contínua em P=(0,0).

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