(Valor : 0,6 cada item) -Derive as funções abaixo :
y=\operatorname{tg}^{-1}\left(2 x^{3}-2 x\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=\operatorname{tg}^{-1}\!\bigl(2x^{3}-2x\bigr)\; e pede para derivá-la.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é composta: a parte externa é a função arco-tangente \operatorname{tg}^{-1}(\cdot) e a parte interna é o polinômio 2x^{3}-2x.
  • O objetivo é encontrar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Regra que vamos usar (cadeia + derivada da arco-tangente):
Se \;y=\operatorname{tg}^{-1}\!\bigl(u(x)\bigr)\;, então pela regra da cadeia e pela derivada da função arco-tangente vale
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}}.
Explicando isso devagar:
  • A derivada de \operatorname{tg}^{-1}(t) em relação a t é \dfrac{1}{1+t^{2}}. Ou seja, se tivesse y=\operatorname{tg}^{-1}(t) com t variável, \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
  • Quando t é uma função de x, isto é t=u(x), aplicamos a regra da cadeia: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{1+(u(x))^{2}}\cdot u'(x).

Passo 3

Calcular a derivada da função interna u(x)=2x^{3}-2x.
Derivando termo a termo:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr).
  • Para \dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr): constante vezes potência, \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, então \dfrac{d}{dx}(2x^{3})=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
  • Para \dfrac{d}{dx}\bigl(2x\bigr): \dfrac{d}{dx}(x)=1, logo \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
    Portanto
u'(x)=6x^{2}-2.
Também podemos escrever isso fatorado como
u'(x)=2\bigl(3x^{2}-1\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da cadeia vista no Passo 2, substituindo u(x)=2x^{3}-2x e u'(x)=6x^{2}-2:
\frac{dy}{dx}=\frac{6x^{2}-2}{1+\bigl(2x^{3}-2x\bigr)^{2}}.

Passo 5

Simplificação final (opcional, deixar mais factorizado): fatorando 2 no numerador,
\frac{dy}{dx}=\frac{2\bigl(3x^{2}-1\bigr)}{1+\bigl(2x^{3}-2x\bigr)^{2}}.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais limpa para a prova.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6x^{2}-2}{1+\bigl(2x^{3}-2x\bigr)^{2}}

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