(Valor : 0,6 cada item) -Derive as funções abaixo :
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá-la.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é composta: a parte externa é a função arco-tangente
e a parte interna é o polinômio . - O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Regra que vamos usar (cadeia + derivada da arco-tangente):
Se , então pela regra da cadeia e pela derivada da função arco-tangente vale
Se
Explicando isso devagar:
- A derivada de
em relação a é . Ou seja, se tivesse com variável, . - Quando
é uma função de , isto é , aplicamos a regra da cadeia: .
Passo 3
Calcular a derivada da função interna
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
- Para
: constante vezes potência, , então . - Para
: , logo .
Portanto
Também podemos escrever isso fatorado como
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da cadeia vista no Passo 2, substituindo
e
:
Passo 5
Simplificação final (opcional, deixar mais factorizado): fatorando
no numerador,
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais limpa para a prova.