Considere a função dada por g(x)=arcsen(ln x).
(b) Justifique a afirmação A função g é invertível e determine a função inversa de g indicando expressão analítica, domínio e contradomínio.

Passo 1

O enunciado define a função g por g(x) = arcsin(ln x) e pede para justificar que g é invertível e achar g^{-1}, incluindo expressão analítica, domínio e contradomínio.

Passo 2

Para g(x) existir, precisamos que ln x esteja no domínio de arcsin, ou seja, ln xin[-1,1]. Isso implica
-1 <= ln x <= 1
Aplicando exponencial em cada limite, obtemos
e^-1 <= x <= e^1,
ou seja, o domínio de g é [e^-1,e].

Passo 3

O contradomínio natural de g será a imagem de [e^-1,e] por arcsin. Como arcsin em [-1,1] varia de -pi/2 a pi/2, o contradomínio de g é [-pi/2,,pi/2].

Passo 4

Para mostrar que g é invertível basta notar que ln x é estritamente crescente em (0,infty) e arcsin(u) é estritamente crescente em [-1,1]. A composição de duas funções estritamente crescentes é estritamente crescente, portanto g é injetora e, sobre seu domínio e contradomínio, também sobrejetora.

Passo 5

Agora, para achar a inversa, escrevemos y = g(x) = arcsin(ln x). Então
ln x = sin y
e exponenciando:
x = e^sin y
Assim, a inversa é dada por g^-1(y) = e^sin y.
Substituindo o nome da variável de volta para x, temos
g^-1(x) = e^sin x,
com domínio [-pi/2,pi/2] e contradomínio [e^-1,e].

Resposta

g é invertível porque é a composição de funções estritamente crescentes ( ln x e arcsin). A inversa é g^-1(x) = e^sin x, com domínio [-pi/2,pi/2] e contradomínio [e^-1,e].

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