Considere a função dada por
.
(b) Justifique a afirmação A função
é invertível e determine a função inversa de
indicando expressão analítica, domínio e contradomínio.
(b) Justifique a afirmação A função
Passo 1
O enunciado define a função g por g(x) =
e pede para justificar que g é invertível e achar g^{-1}, incluindo expressão analítica, domínio e contradomínio.
Passo 2
Para g(x) existir, precisamos que
esteja no domínio de
, ou seja,
. Isso implica
Aplicando exponencial em cada limite, obtemos
ou seja, o domínio de g é
.
Passo 3
O contradomínio natural de g será a imagem de
por
. Como
em [-1,1] varia de
a
, o contradomínio de g é
.
Passo 4
Para mostrar que g é invertível basta notar que ln x é estritamente crescente em
e
é estritamente crescente em
. A composição de duas funções estritamente crescentes é estritamente crescente, portanto g é injetora e, sobre seu domínio e contradomínio, também sobrejetora.
Passo 5
Agora, para achar a inversa, escrevemos
. Então
e exponenciando:
Assim, a inversa é dada por
.
Substituindo o nome da variável de volta para , temos
Substituindo o nome da variável de volta para
com domínio
Resposta
g é invertível porque é a composição de funções estritamente crescentes (
e
). A inversa é
, com domínio
e contradomínio
.