Mostre como obter a solução geral da equação diferencial abaixo
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Para resolver essa equação, a gente vai precisar usar o método dos coeficientes constantes e encontrar a equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos as derivadas por potências de uma variável (geralmente
). Então, a equação diferencial:
Vira:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver utilizando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Então:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla (
com multiplicidade 2), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que determinam a solução específica com base nas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: