Mostre como obter a solução geral da equação diferencial abaixo
y^prime prime+2 y^prime+y=0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 2y' + y = 0
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Para resolver essa equação, a gente vai precisar usar o método dos coeficientes constantes e encontrar a equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos as derivadas por potências de uma variável (geralmente y'' + 2y' + y = 0 ). Então, a equação diferencial:
r^2 + 2r + 1 = 0
Vira:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 + 2r + 1 = 0
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver utilizando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, r = -2 pm raiz2^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = -2 pm raiz4 - 42 = -2 pm 02 = -1 , e . Então:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla ( y(x) = (C1 + C2 x)e^-x com multiplicidade 2), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que determinam a solução específica com base nas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x)e^-x

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