Considere a função dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{llc} 0 & \text { se } & x<0 \\\\ 0,2 x & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0,2 & \text { se } & 1 \leq x \leq 5 \\\\ 1,2-0,2 x & \text { se } 5<x<6 \\\\ 0 & \text { se } x>6 \end{array}\right.
a) Mostre que f(x) é uma função densidade de probabilidade;
b) Represente graficamente a função f(x)
c) Calcule P(x>1)
d) Calcule P(1<x<5)
e) Calcule P(0,5<x<5,2)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (copiei os pedaços do enunciado tal qual aparecem):
A função é definida por partes:
f(x)=\left\{\begin{array}{llc} 0 & \text{se} & x<0,\\[4pt] 0,2x & \text{se} & 0<x<1,\\[4pt] 0,2 & \text{se} & 1\le x\le 5,\\[4pt] 1,2-0,2x & \text{se} & 5<x<6,\\[4pt] 0 & \text{se} & x>6. \end{array}\right.
As perguntas são:
a) Mostrar que f(x) é uma função densidade de probabilidade.
b) Representar graficamente a função f(x).
c) Calcular P(x>1).
d) Calcular P(1<x<5).
e) Calcular P(0,5<x<5,2).
Anotações úteis que vou usar (sem começar a resolver ainda):
  • Para ser densidade de probabilidade, f(x) deve satisfazer duas coisas: (i) f(x)\ge 0 para todo x; (ii) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
  • Probabilidades de intervalos são obtidas por integrais da densidade sobre esses intervalos.
  • Valores da função em pontos isolados (por exemplo em x=0 ou x=6 se estiverem indefinidos) não afetam integrais/probabilidades.]

Passo 2

Explicando a ideia de densidade e as ferramentas que usarei (mini-aula):
  • O que é uma função densidade de probabilidade (pdf)? É uma função f tal que para qualquer intervalo [a,b] a probabilidade de X cair nesse intervalo é \displaystyle P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx. As duas condições já citadas garantem que essas “áreas” são não negativas e que a soma (área total) é 1.
  • Como calcular integrais simples que aparecerão:
    • Integral de uma constante c em [a,b] é c(b-a).
    • Integral de uma função linear ax+b é \dfrac{a}{2}x^2+bx (ou escrito em forma de antiderivada).
    • Para k x a antiderivada é k\cdot \dfrac{x^2}{2}.
  • Observação prática para prova: quando a densidade é dada por partes, somam-se as integrais em cada subintervalo de suporte (onde f\neq 0).

Passo 3

Verificando a não-negatividade de f(x) em cada trecho (passo-a-passo, didático):
  • Para x<0: f(x)=0, logo não negativa.
  • Para 0<x<1: f(x)=0,2x. Como x>0 nesse intervalo, 0,2x>0. O valor máximo nesse trecho ocorre em x\to 1^{-} e vale 0,2\cdot 1=0,2. Então 0< f(x)\le 0,2 para 0<x<1.
  • Para 1\le x\le 5: f(x)=0,2. Isso é claramente não negativo.
  • Para 5<x<6: f(x)=1,2-0,2x. Vamos checar nos extremos: em x\to 5^+ temos 1,2-0,2\cdot 5 = 1,2-1 = 0,2>0. Em x\to 6^{-} temos 1,2-0,2\cdot 6 = 1,2-1,2=0. Como é uma função linear decrescente nesse intervalo, os valores estão entre 0 e 0,2, logo não negativos.
  • Para x>6: f(x)=0, não negativo.
Conclusão deste passo: f(x)\ge 0 para todo x.

Passo 4

Calcular a integral total \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx e mostrar que vale 1. Vou dividir a integral nos trechos onde f é não nula:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} 0,2x\,dx \;+\; \int_{1}^{5} 0,2\,dx \;+\; \int_{5}^{6} (1,2-0,2x)\,dx.
Calcular cada parcela separadamente (mostrando as antiderivadas):
  1. Para o trecho 0 a 1:
\int_{0}^{1} 0,2x\,dx = 0,2 \int_{0}^{1} x\,dx = 0,2\cdot\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = 0,2\cdot\left(\dfrac{1^2}{2}-0\right) = 0,2\cdot\dfrac{1}{2} = 0,1.
  1. Para o trecho 1 a 5 (constante):
\int_{1}^{5} 0,2\,dx = 0,2\cdot (5-1) = 0,2\cdot 4 = 0,8.
  1. Para o trecho 5 a 6:
    Primeiro escrevo a antiderivada de 1,2-0,2x: é 1,2x - 0,2\cdot \dfrac{x^2}{2} = 1,2x -0,1x^2.
    Então
\int_{5}^{6} (1,2-0,2x)\,dx =\left[ 1,2x -0,1x^2 \right]_{5}^{6} = \bigl(1,2\cdot 6 -0,1\cdot 6^2\bigr) - \bigl(1,2\cdot 5 -0,1\cdot 5^2\bigr).
Calculo numérico:
1,2\cdot 6 -0,1\cdot 36 = 7,2 - 3,6 = 3,6,
1,2\cdot 5 -0,1\cdot 25 = 6 - 2,5 = 3,5,
logo a diferença é 3,6-3,5 = 0,1.
Somando as três parcelas:
0,1 + 0,8 + 0,1 = 1,0.
Como \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 e f(x)\ge 0 para todo x, concluímos que f é uma função densidade de probabilidade.

Passo 5

Desenho/representação gráfica (instruções detalhadas para eu, que estiver na prova, fazer o esboço):
  • Eixos: x horizontal e f(x) vertical.
  • Para x<0: traçar a linha no nível f(x)=0 (eixo x), porque f(x)=0.
  • Em x=0: observe que a definição não dá o valor em x=0 (temos só x<0 e 0<x<1). Como pontos isolados não importam para a densidade, pode-se desenhar um círculo aberto em x=0 no nível 0 e seguir com o segmento a partir de x>0. Nota prática: muitos livros colocam f(0)=0, então desenhar um ponto preenchido em (0,0) também é aceitável; não altera probabilidades.
  • Para 0<x<1: desenhar a reta que passa pela origem com inclinação 0,2, ou seja a equação f(x)=0,2x. Em x=0 o valor tende a 0; em x=1 o valor é 0,2. Como o trecho exclui x=1 à esquerda mas o próximo trecho inclui x=1, ficará contínuo em x=1 (ponto fechado em x=1 para o valor 0,2).
  • Para 1\le x\le 5: desenhar a reta horizontal f(x)=0,2 entre x=1 e x=5. Nos dois extremos o valor é 0,2 e os dois extremos estão incluídos (pontos fechados).
  • Para 5<x<6: desenhar a reta decrescente f(x)=1,2-0,2x. Em x=5 esse valor é 0,2 (continuidade com o trecho anterior) e em x\to 6^{-} vale 0. Em x=6 o valor não está definido por esse trecho; para x>6 volta a ser 0. Novamente, ponto em x=6 pode ser desenhado aberto no nível 0; valor único não altera probabilidade.
  • Para x>6: f(x)=0.
  • Pontos-chave para marcar no gráfico (usar vírgula decimal):
    • (0,\,0) (valor limite à direita),
    • (1,\,0,2),
    • (5,\,0,2),
    • (6,\,0).
  • O gráfico fica com um “triângulo/ramo” crescente de 0 até 0,2 entre 0 e 1, uma barra horizontal em 0,2 de 1 a 5, e uma rampa decrescente de 0,2 até 0 entre 5 e 6. Fora desses intervalos, f=0.

Passo 6

Calcular P(x>1). Explicação: P(x>1)=\displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx. Como a função é nula para x>6, basta integrar até 6:
P(x>1)=\int_{1}^{5} 0,2\,dx + \int_{5}^{6} (1,2-0,2x)\,dx.
Já calculamos essas integrais no Passo 4:
\int_{1}^{5} 0,2\,dx = 0,8,\qquad \int_{5}^{6} (1,2-0,2x)\,dx = 0,1.
Portanto
P(x>1)=0,8+0,1=0,9.
Observação didática: incluir ou não a igualdade em x=1 não muda o resultado porque P(X=1)=0 (pontos isolados têm probabilidade zero em distribuições contínuas).

Passo 7

Calcular P(1<x<5). Aqui a densidade é constante 0,2 em todo o intervalo [1,5], e o fato do enunciado pedir aberto 1<x<5 não altera o valor:
P(1<x<5)=\int_{1}^{5} 0,2\,dx = 0,2\cdot (5-1) = 0,8.

Passo 8

Calcular P(0,5<x<5,2). Interpreto os decimais com vírgula: trata-se de P(0{,}5 < x < 5{,}2). Esse intervalo corta três trechos da densidade: parte em 0<x<1, toda a parte 1\le x\le 5, e parte do trecho 5<x<6 (porque 5{,}2 está entre 5 e 6). Assim:
P(0{,}5 < x < 5{,}2) = \int_{0{,}5}^{1} 0,2x\,dx \;+\; \int_{1}^{5} 0,2\,dx \;+\; \int_{5}^{5{,}2} (1,2-0,2x)\,dx.
Calculo cada parcela (mostrando contas):
  1. \displaystyle\int_{0{,}5}^{1} 0,2x\,dx = 0,2\cdot\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0{,}5}^{1} = 0,1\cdot (1^2-(0{,}5)^2) = 0,1\cdot (1-0,25) = 0,1\cdot 0,75 = 0,075.
  2. \displaystyle\int_{1}^{5} 0,2\,dx = 0,8 (já calculado).
  3. \displaystyle\int_{5}^{5{,}2} (1,2-0,2x)\,dx = \left[1,2x -0,1x^2\right]_{5}^{5{,}2}.
    Calculo numérico:
1,2\cdot 5{,}2 -0,1\cdot (5{,}2)^2 = 6,24 - 0,1\cdot 27,04 = 6,24 - 2,704 = 3,536,
1,2\cdot 5 -0,1\cdot 25 = 6 - 2,5 = 3,5,
diferença 3,536 - 3,5 = 0,036.
Somando as três parcelas:
0,075 + 0,8 + 0,036 = 0,911.
Portanto P(0{,}5 < x < 5{,}2)=0,911.

Passo 9

Resumo final: já demonstramos que f satisfaz as propriedades de uma pdf (não-negatividade e integral total igual a 1), desenhamos e calculamos as probabilidades pedidas.

Resposta

a) Sim.
b) Gráfico: linha f=0 para x<0, reta crescente f(x)=0,2x em 0<x<1 até (1,0,2), barra horizontal f=0,2 em 1\le x\le 5, reta decrescente f(x)=1,2-0,2x em 5<x<6 até (6,0), e f=0 para x>6.
c) P(x>1)=0,9
d) P(1<x<5)=0,8
e) P(0,5<x<5,2)=0,911

Exercícios relacionados