A empresa Papaiz garante que no máximo
das fechaduras por ela produzidas são defeituosas. Se a Ford instalar duas dessas fechaduras em um de seus veículos e se as escolher aleatoriamente de um lote de cem peças, qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Informação 1: A empresa Papaiz garante que no máximo
das fechaduras por ela produzidas são defeituosas. - Informação 2: A Ford vai instalar duas dessas fechaduras escolhidas aleatoriamente de um lote de
peças. - Pergunta: Qual a probabilidade de que ambas as fechaduras escolhidas sejam defeituosas?
Observação usada (sem pedir nada extra): para avaliar a probabilidade máxima compatível com a garantia “no máximo
”, vamos assumir o caso conservador em que exatamente
do lote são defeituosos. Em um lote de
peças isso corresponde a
fechaduras defeituosas. A partir disso calculamos a probabilidade pedida.
Passo 2
Entendendo o experimento e qual modelo probabilístico usar.
- O experimento é: escolher duas peças sem reposição de um lote de
. - Como a escolha é sem reposição (uma vez escolhida uma peça, ela não volta ao lote), as probabilidades das escolhas não são independentes; portanto o modelo correto é o modelo hipergeométrico ou fazer o raciocínio por probabilidades condicionais passo a passo.
- Vou explicar a fórmula hipergeométrica de forma simples: seja uma população com
itens, dos quais são “sucessos” (aqui: defeituosas). Se extraímos itens aleatoriamente sem reposição, a probabilidade de obter exatamente sucessos é
Explicando as variáveis:
-
é o total de itens na população (aqui ). -
é o número total de itens com a característica desejada na população (aqui , as defeituosas). -
é o tamanho da amostra retirada (aqui ). -
é o número de itens desejados na amostra (aqui queremos , ambas defeituosas). -
é a combinação “a escolhe b”, i.e., o número de maneiras de escolher elementos dentre sem ordem. -
Alternativa equivalente e frequentemente mais direta para
: pensar em termos de probabilidades condicionais sequenciais. A probabilidade de a primeira ser defeituosa é . Dada a primeira defeituosa, restam defeituosas em peças, então a probabilidade da segunda também ser defeituosa é . Multiplica-se para obter a probabilidade conjunta.
Passo 3
Aplicando os números ao modelo hipergeométrico (ou ao raciocínio sequencial).
Usando o raciocínio sequencial:
- Probabilidade da primeira peça ser defeituosa:
- Dada a primeira defeituosa, restam
defeituosas entre peças, então a probabilidade da segunda também ser defeituosa é
- Probabilidade conjunta (ambas defeituosas) é o produto:
Passo 4
Calcular e simplificar a expressão.
- Multiplicando:
- Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
- Em forma decimal aproximada:
- Em porcentagem:
Passo 5
Comentário pedagógico rápido (útil na prova): se alguém modelar erroneamente como seleções independentes (por exemplo, supondo amostragem com reposição ou população enorme) usaria a aproximação binomial com parâmetro
e obteria
(ou
). Note que essa aproximação superestima um pouco a probabilidade real quando a amostragem é sem reposição; a resposta exata e correta para o caso do lote de
é
.