A empresa Papaiz garante que no máximo 5 \% das fechaduras por ela produzidas são defeituosas. Se a Ford instalar duas dessas fechaduras em um de seus veículos e se as escolher aleatoriamente de um lote de cem peças, qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informação 1: A empresa Papaiz garante que no máximo 5\% das fechaduras por ela produzidas são defeituosas.
  • Informação 2: A Ford vai instalar duas dessas fechaduras escolhidas aleatoriamente de um lote de 100 peças.
  • Pergunta: Qual a probabilidade de que ambas as fechaduras escolhidas sejam defeituosas?
Observação usada (sem pedir nada extra): para avaliar a probabilidade máxima compatível com a garantia “no máximo 5\%”, vamos assumir o caso conservador em que exatamente 5\% do lote são defeituosos. Em um lote de 100 peças isso corresponde a 5 fechaduras defeituosas. A partir disso calculamos a probabilidade pedida.

Passo 2

Entendendo o experimento e qual modelo probabilístico usar.
  • O experimento é: escolher duas peças sem reposição de um lote de 100.
  • Como a escolha é sem reposição (uma vez escolhida uma peça, ela não volta ao lote), as probabilidades das escolhas não são independentes; portanto o modelo correto é o modelo hipergeométrico ou fazer o raciocínio por probabilidades condicionais passo a passo.
  • Vou explicar a fórmula hipergeométrica de forma simples: seja uma população com N itens, dos quais K são “sucessos” (aqui: defeituosas). Se extraímos n itens aleatoriamente sem reposição, a probabilidade de obter exatamente k sucessos é
\mathbb{P}(\text{exatamente }k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Explicando as variáveis:
  • N é o total de itens na população (aqui N=100).
  • K é o número total de itens com a característica desejada na população (aqui K=5, as defeituosas).
  • n é o tamanho da amostra retirada (aqui n=2).
  • k é o número de itens desejados na amostra (aqui queremos k=2, ambas defeituosas).
  • \binom{a}{b} é a combinação “a escolhe b”, i.e., o número de maneiras de escolher b elementos dentre a sem ordem.
  • Alternativa equivalente e frequentemente mais direta para n=2: pensar em termos de probabilidades condicionais sequenciais. A probabilidade de a primeira ser defeituosa é K/N. Dada a primeira defeituosa, restam K-1 defeituosas em N-1 peças, então a probabilidade da segunda também ser defeituosa é (K-1)/(N-1). Multiplica-se para obter a probabilidade conjunta.

Passo 3

Aplicando os números ao modelo hipergeométrico (ou ao raciocínio sequencial).
Usando o raciocínio sequencial:
  • Probabilidade da primeira peça ser defeituosa:
\frac{K}{N}=\frac{5}{100}.
  • Dada a primeira defeituosa, restam 4 defeituosas entre 99 peças, então a probabilidade da segunda também ser defeituosa é
\frac{K-1}{N-1}=\frac{4}{99}.
  • Probabilidade conjunta (ambas defeituosas) é o produto:
\frac{5}{100}\cdot\frac{4}{99}.

Passo 4

Calcular e simplificar a expressão.
  • Multiplicando:
\frac{5}{100}\cdot\frac{4}{99}=\frac{20}{9900}.
  • Simplificando dividindo numerador e denominador por 20:
\frac{20}{9900}=\frac{1}{495}.
  • Em forma decimal aproximada:
\frac{1}{495}\approx 0,00202.
  • Em porcentagem:
0,00202 \times 100\% \approx 0,202\%.

Passo 5

Comentário pedagógico rápido (útil na prova): se alguém modelar erroneamente como seleções independentes (por exemplo, supondo amostragem com reposição ou população enorme) usaria a aproximação binomial com parâmetro p=0,05 e obteria p^2=(0,05)^2=0,0025 (ou 0,25\%). Note que essa aproximação superestima um pouco a probabilidade real quando a amostragem é sem reposição; a resposta exata e correta para o caso do lote de 100 é \dfrac{1}{495}.

Resposta

\dfrac{1}{495} \approx 0,00202 (0,202\%)

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