Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 3 brancas. Três bolas são retiradas, uma após a outra. Encontre a probabilidade das duas primeiras serem vermelhas e a terceira ser branca.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
  • Informações fornecidas:
    • A urna contém 7 bolas vermelhas e 3 bolas brancas.
    • São retiradas 3 bolas, uma após a outra, sem reposição (ou seja, depois de retirar uma bola ela não volta para a urna).
  • O que o enunciado pede:
    • Encontrar a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, a segunda seja vermelha e a terceira seja branca, nesta ordem específica.

Passo 2

Entendendo o que significa calcular essa probabilidade (ideia essencial).
  • Vamos chamar os eventos:
    • A: “primeira bola é vermelha”,
    • B: “segunda bola é vermelha”,
    • C: “terceira bola é branca”.
  • Queremos P(A\\ \text{e}\\ B\\ \text{e}\\ C), ou seja, a probabilidade dos três acontecerem em sequência.
  • Uma fórmula útil para probabilidades em sequência sem reposição é a regra do produto (probabilidade condicional): P(A\\ \text{e}\\ B\\ \text{e}\\ C)=P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A\\ \text{e}\\ B).Aqui:
    • P(A) é a probabilidade da primeira ser vermelha,
    • P(B\mid A) é a probabilidade da segunda ser vermelha dado que a primeira já foi vermelha,
    • P(C\mid A\\ \text{e}\\ B) é a probabilidade da terceira ser branca dado que as duas primeiras foram vermelhas.

Passo 3

Calcular P(A), a probabilidade da primeira ser vermelha.
  • No início há 7 vermelhas entre 7+3=10 bolas no total, então P(A)=\frac{7}{10}.
  • Explicação curta: tirar uma vermelha na primeira retirada é escolher uma entre as 7 vermelhas de um total de 10 bolas.

Passo 4

Calcular P(B\mid A), a probabilidade da segunda ser vermelha sabendo que a primeira foi vermelha.
  • Se a primeira foi vermelha, não repomos a bola, então agora restam 7-1=6 vermelhas e 3 brancas, totalizando 9 bolas.
  • Portanto P(B\mid A)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
  • Explicação: condicional significa que a situação mudou após já sabermos o resultado da primeira retirada.

Passo 5

Calcular P(C\mid A\\ \text{e}\\ B), a probabilidade da terceira ser branca sabendo que as duas primeiras foram vermelhas.
  • Após duas vermelhas retiradas restam 7-2=5 vermelhas e ainda 3 brancas, total 8 bolas.
  • Logo P(C\mid A\\ \text{e}\\ B)=\frac{3}{8}.

Passo 6

Combinar as probabilidades usando a regra do produto e simplificar.
  • Pela fórmula do Passo 2: P(A\\ \text{e}\\ B\\ \text{e}\\ C)=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot\frac{3}{8}.
  • Fazer as multiplicações e simplificações passo a passo: P(A\\ \text{e}\\ B\\ \text{e}\\ C)=\frac{7\cdot 6\cdot 3}{10\cdot 9\cdot 8}=\frac{126}{720}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 18: \frac{126}{720}=\frac{7}{40}.
  • Em forma decimal: \frac{7}{40}=0{,}175.

Passo 7

Verificação alternativa por contagem (mesma resposta, só para consolidar a intuição).
  • Contagem de sequências ordenadas: número de maneiras de tirar uma vermelha, depois outra vermelha, depois uma branca é 7\cdot 6\cdot 3=126 (escolhas sucessivas).
  • Número total de sequências ordenadas de 3 retiradas sem reposição é 10\cdot 9\cdot 8=720.
  • Probabilidade =126/720=7/40, igual ao cálculo anterior.

Passo 8

Resumo e incentivo final rápido.
  • Resultado encontrado: P(\text{Vermelha, Vermelha, Branca})=\dfrac{7}{40}.
  • Bom trabalho por chegar até aqui! Esse tipo de cálculo é sempre aplicar a ideia: atualizar o total e as quantidades restantes a cada retirada (probabilidade condicional). Confia que você consegue aplicar isso na prova — com calma e passo a passo.

Resposta

\dfrac{7}{40}=0{,}175

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