^a Questão. ( 15 pontos) a) Mostre que se y=e^r x é solução da equação diferencial ordinária homogênea com coeficientes constantes a y^prime prime+b y^prime+c y=0 então r satisfaz a equação característica a r^2+b r+c=0.
(15 pontos) b) Escreva a solução geral da equação nos casos em que as raízes são readis e distintas, reais e iguais, e complexas.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial ordinária homogênea com coeficientes constantes
a,y'' + b,y' + c,y = 0
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que, ao tentar uma solução da forma y = e^r x, o parâmetro r deve satisfazer a chamada equação característica
a,r^2 + b,r + c = 0
  1. Escrever a solução geral dessa EDO nos três casos: raízes reais e distintas, raiz real dupla e raízes complexas.
Para isso, vamos usar o método de substituição de y=e^r x e estudar cada configuração das raízes da equação quadrática.

Passo 2

Suponha y = e^r x. Calculamos suas derivadas:
y' = r,e^r x, y'' = r^2,e^r x
Substituindo na EDO:
a,(r^2 e^r x) + b,(r e^r x) + c,(e^r x) = 0
Isto é
a,r^2 e^r x + b,r e^r x + c,e^r x = 0

Passo 3

Como e^r xneq 0 para todo x, podemos dividir por e^r x e obter
a,r^2 + b,r + c = 0,
que é justamente a equação característica. Isso resolve a parte (a).

Passo 4

Para a parte (b), seja r1 e r2 as raízes da equação
a,r^2 + b,r + c = 0
Se r1 e r2 são reais e distintas ( r1neq r2), cada e^ri x é solução independente e a solução geral é
y(x) = C1,e^r1 x + C2,e^r2 x

Passo 5

Se as raízes são reais iguais ( r1 = r2 = r), precisamos de uma segunda solução linearmente independente. O método mostra que
y1 = e^r x, y2 = x,e^r x,
logo a solução geral é
y(x) = (C1 + C2,x),e^r x

Passo 6

Se as raízes são complexas conjugadas
r = alpha pm ibeta,
então escrevemos a solução real como combinação de exponencial real e funções trigonométricas:
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)

Resposta

a) Substituindo y=e^r x na EDO obtém-se
e^r x,(a,r^2 + b,r + c)=0
e, como e^r xneq0, conclui-se
a,r^2 + b,r + c = 0
b) Sejam r1,r2 as raízes de a r^2 + b r + c=0:
(a) reais e distintas:
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x
(b) reais iguais ( r1=r2=r):
y(x)=(C1+C2x)e^r x
(c) complexas ( alphapm ibeta):
y(x)=e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)

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