Questão. ( 15 pontos) a) Mostre que se
é solução da equação diferencial ordinária homogênea com coeficientes constantes
então
satisfaz a equação característica
.
(15 pontos) b) Escreva a solução geral da equação nos casos em que as raízes são readis e distintas, reais e iguais, e complexas.
(15 pontos) b) Escreva a solução geral da equação nos casos em que as raízes são readis e distintas, reais e iguais, e complexas.
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial ordinária homogênea com coeficientes constantes
e pede duas coisas:
- Mostrar que, ao tentar uma solução da forma
, o parâmetro deve satisfazer a chamada equação característica
- Escrever a solução geral dessa EDO nos três casos: raízes reais e distintas, raiz real dupla e raízes complexas.
Para isso, vamos usar o método de substituição de
e estudar cada configuração das raízes da equação quadrática.
Passo 2
Suponha
. Calculamos suas derivadas:
Substituindo na EDO:
Isto é
Passo 3
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter
que é justamente a equação característica. Isso resolve a parte (a).
Passo 4
Para a parte (b), seja
e
as raízes da equação
Se
e
são reais e distintas (
), cada
é solução independente e a solução geral é
Passo 5
Se as raízes são reais iguais (
), precisamos de uma segunda solução linearmente independente. O método mostra que
logo a solução geral é
Passo 6
Se as raízes são complexas conjugadas
então escrevemos a solução real como combinação de exponencial real e funções trigonométricas:
Resposta
a) Substituindo
na EDO obtém-se
e, como
, conclui-se
b) Sejam
as raízes de
:
(a) reais e distintas:
(b) reais iguais (
):
(c) complexas (
):