Considere a função f dada por f(x)=x^2+4 x+7.
Qual é o menor valor de f(x) ? Para qual x este menor valor é atingido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função quadrática f(x) = x^2 + 4x + 7 e quer descobrir qual é o menor valor que essa função pode ter e em que ponto x esse valor ocorre. Para resolver isso, vamos usar o conceito de máximo ou mínimo de uma função quadrática, que está ligado ao vértice da parábola representada pela função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática geral tem a forma f(x) = ax^2 + bx + c . No nosso caso, a = 1 , b = 4 e c = 7 . O gráfico dessa função é uma parábola. Como o coeficiente de x^2 (que é a ) é positivo, a parábola abre para cima, o que significa que ela tem um mínimo.

Passo 3

Para encontrar o ponto onde ocorre esse mínimo, precisamos achar as coordenadas do vértice da parábola. A coordenada x do vértice pode ser encontrada pela fórmula:
xv = -b2a
Substituindo os valores que temos:
xv = -42 times 1 = -42 = -2
Então, o mínimo ocorre quando x = -2 .

Passo 4

Agora, para encontrar o valor mínimo da função, basta substituir xv = -2 na expressão original da função:
f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 7
Calculando passo a passo:
(-2)^2 = 4
4(-2) = -8
Então:
f(-2) = 4 - 8 + 7 = 3

Resposta

O menor valor de f(x) é 3, e ele ocorre quando x = -2 .

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