Simplifique o seguinte polinômio (1 x-1)(1 x^2-5)-(5 x+2)(3-4 x).
a) -1 x^2+6 x-1
b) -1 x^2-12 x+11
c) 1 x^3-21 x^2+2 x+11
d) 1 x^3+19 x^2-12 x-1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que simplificar o polinômio dado, que envolve multiplicações de binômios e polinômios de grau maior. Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade distributiva (também conhecida como “distribuir”) e combinar termos semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois primeiros termos: (1x - 1)(1x^2 - 5). Para isso, aplicamos a distributiva:
1x cdot 1x^2 &= 1x^3 1x cdot (-5) &= -5x -1 cdot 1x^2 &= -1x^2 -1 cdot (-5) &= +5
Então, o resultado dessa multiplicação é:
1x^3 - 1x^2 - 5x + 5

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o segundo par de termos: (5x + 2)(3 - 4x). Aplicando a distributiva novamente:
5x cdot 3 &= 15x 5x cdot (-4x) &= -20x^2 2 cdot 3 &= 6 2 cdot (-4x) &= -8x
Assim, o resultado dessa multiplicação é:
-20x^2 + 15x - 8x + 6
Agora, combinamos os termos semelhantes:
-20x^2 + 7x + 6

Passo 4

Voltamos à expressão original e substituímos os resultados das multiplicações:
(1x^3 - 1x^2 - 5x + 5) - (-20x^2 + 7x + 6)
Distribuindo o sinal negativo:
1x^3 - 1x^2 - 5x + 5 + 20x^2 - 7x - 6

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
x^3 &: 1x^3 x^2 &: -1x^2 + 20x^2 = 19x^2 x &: -5x - 7x = -12x Constante &: 5 - 6 = -1
Então, o polinômio simplificado é:
1x^3 + 19x^2 - 12x - 1

Resposta

A opção correta é a letra d) 1 x^3+19 x^2-12 x-1

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