Considere a função f: R R dada por f(x)=|x|2 se x in[-1,1] e definida fora desse intervalo como sendo periódica de período 2.
(1,0) Calcule a série de Fourier a02+sumn=1^infty an cos (n pi xL)+bn sen(n pi xL) de f

Passo 1

A função dada é f(x)=|x|/2 em [-1,1] e estendida como períodica de período 2. Vamos desenvolver sua série de Fourier, conteúdo de séries de Fourier de funções pares e periódicas.
Como o período é 2, temos 2L=2 ⇒ L=1. A série de Fourier em [-1,1] é
f(x)sim a02+sumn=1^infty ancosl(npi x/Lr)+bnsinl(npi x/Lr), com
an=1Lintegral-L^L f(x)cosl(npi x/Lr),dx, bn=1Lintegral-L^L f(x)sinl(npi x/Lr),dx

Passo 2

Calculando a_0:
a0=integral-1^1|x|2,dx=2integral0^1x2,dx=12, logo a0/2=1/4.

Passo 3

Para an: como a função é par,
an=2integral0^1x2cos(npi x),dx=integral0^1 xcos(npi x),dx Usando integração por partes (u=x, dv=cos(nπx)dx) obtemos
an=(-1)^n-1n^2pi^2, que dá an=0 para n par e an=-2/(n^2pi^2) para n ímpar.

Passo 4

Como f é par, todos os bn=0.
Juntando tudo, a série fica:

Resposta

f(x)=14-2pi^2sumk=0^inftycosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2

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