Considere a função f dada pela regra f(x)=-x^3-2 x^2+5 x+6. Determine os valores máximo e mínimo desta função no intervalo [-4,2].

Passo 1

A questão pede pra determinar os valores máximo e mínimo da função f(x) = -x^3 - 2x^2 + 5x + 6 no intervalo fechado [-4,2]. É um problema de extremos absolutos em cálculo diferencial: vamos precisar calcular a derivada, achar os pontos críticos que caem dentro de [-4,2] e então comparar os valores de f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f:
f'(x) = ddx(-x^3 - 2x^2 + 5x + 6) = -3x^2 - 4x + 5

Passo 3

Em seguida, achamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Podemos reescrever:
-3x^2 - 4x + 5 = 0 Long<=ftrightarrow 3x^2 + 4x - 5 = 0

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -4 pm raiz4^2 - 4cdot3cdot(-5)2cdot3 = -4 pm raiz16 + 606 = -4 pm raiz766 = -2 pm raiz193

Passo 5

Os dois candidatos são
x1 = -2 + raiz193 approx 0.7863, x2 = -2 - raiz193 approx -2.1196

Passo 6

Ambos estão dentro de [-4,2]. Agora, avaliamos f em todos os pontos relevantes (extremos e críticos):
f(-4) = -(-4)^3 - 2(-4)^2 + 5(-4) + 6 = 64 - 32 - 20 + 6 = 18,
f(2) = -(2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) + 6 = -8 - 8 + 10 + 6 = 0,
fl(x1r) = fl(tfrac-2+raiz193r) approx 8.209,
fl(x2r) = fl(tfrac-2-raiz193r) approx -4.073

Passo 7

Comparando esses valores observamos que o maior é 18 em x=-4 e o menor é aproximadamente -4.073 em x = tfrac-2-raiz193.

Resposta

Máximo absoluto: 18 em x = -4. Mínimo absoluto: aproximadamente -4.073 em x = -2-raiz193.

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