Deseja-se confeccionar uma caixa retangular cujo material será uma folha de zinco retangular de dimensões
e 60 cm, respectivamente. Para isso de-se cortar pequenos quadrados nos quatro cantos e, em seguida dobrar as bandas laterais. Determine os comprimentos dos lados desses quadrados para que o volume da caixa seja máximo e qual é este volume.
Passo 1
O enunciado pede para transformar uma chapa retangular de zinco de dimensões 37,5 cm × 60 cm em uma caixa aberta, cortando quadrados de lado x nos quatro cantos e dobrando as abas para cima. O conteúdo é otimiza̧ção de função de várias variáveis reduzida a uma só variável (x), usando cálculo para achar o máximo do volume.
Passo 2
Ao cortar quadrados de lado x em cada canto e dobrar as abas, as dimensões internas da base da caixa ficam (60 – 2x) em comprimento, (37,5 – 2x) em largura, e altura igual a x. Logo, o volume V em função de x é dado por:
Passo 3
Para encontrar o valor de x que maximiza V, primeiro expandimos V(x) em polinômio:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada V’(x) e igualamos a zero para achar os pontos críticos. Temos:
Passo 5
Igualando V’(x)=0 e simplificando (dividindo por 6):
Passo 6
As raízes dessa equação quadrática são x=7,5 cm e x=25 cm. Como o corte não pode exceder metade da menor dimensão (37,5/2=18,75 cm), a solução fisicamente válida é x=7,5 cm. Para confirmar que esse ponto é um máximo, observamos que V(0)=0 e V(18{,}75)=0, e em x=7,5 o volume é positivo e maior do que nos extremos do intervalo. Portanto, x=7,5 cm dá o volume máximo.
Passo 7
Finalmente, computamos o volume máximo substituindo x=7,5 cm em V(x):
Resposta
O lado dos quadrados deve medir 7,5 cm e o volume máximo da caixa é 7593,75 cm³.