Esboce um gráfico possível de uma função
que satizfaça as seguntes condições:
(a)
em
em (
);
(b)
em
e
em
;
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce um gráfico possível de uma função
que satisfaça as três condições abaixo. Vou listar explicitamente o que o enunciado dá e o que é pedido, só para a gente ficar alinhado:
- Condição (a):
para e para . - Condição (b):
para e para ; e para . - Condição (c):
e .
O que é pedido: um esboço (um gráfico possível) que satisfaça simultaneamente (a), (b) e (c). Não há números obrigatórios para
,
ou
; só há as informações sobre monotonia, concavidade e assimptotas horizontais.
Passo 2
Interpretação da condição (a) — o que significa em palavras e como isso afeta o esboço.
-
em significa: a função é estritamente crescente em toda a reta até . Na linguagem do esboço: indo da esquerda para , a curva sobe sempre (nunca desce), sem máximos locais antes de . -
em significa: a função é estritamente decrescente para . Ou seja, em ocorre uma mudança de crescente para decrescente, o que implica que é um ponto crítico com caráter de máximo local (e, neste caso, global entre pontos próximos). - Conclusão importante:
é um ponto de máximo local (e o único ponto onde a monotonia muda).
Explicação didática curta: o sinal de
diz se a curva sobe (
) ou desce (
) em cada intervalo.
Passo 3
Interpretação da condição (b) — concavidade e pontos de inflexão.
-
significa “concavidade para cima” (a curva se comporta como uma taça virada para cima, tangentemente abrindo para cima). Isso ocorre em e em . -
significa “concavidade para baixo” (a curva é como uma cúpula, abrindo para baixo). Isso ocorre em . - Onde
troca de sinal (aqui, nos pontos e ), existem pontos de inflexão. Assim, e são abrigos naturais para inflexão. Não conhecemos as ordenadas e , apenas que ali a concavidade muda.
Didática: a segunda derivada mede a curvatura local; trocar o sinal da segunda derivada indica que a curvatura muda sentido — isso é um ponto de inflexão.
Passo 4
Combinação de (a) e (b) para dividir o eixo em quatro trechos de comportamento e descrever cada trecho com detalhe (isso facilita muito o esboço).
Os intervalos de interesse, por união das condições, são:
,
(note que
),
e
.
Vou descrever o comportamento em cada trecho:
-
Para
: temos (crescente) e (concavidade para cima). Logo, ao seguir da esquerda para a direita a curva sobe e “abre para cima” — isto é, a inclinação aumenta. Além disso, pela condição (c) sabemos que quando a função se aproxima de . Então, idealmente, a curva vem de perto de (linha horizontal) crescendo com concavidade para cima enquanto nos aproximamos de . -
Em
ocorre uma inflexão: a concavidade muda de cima para baixo. -
Para
: temos (ainda cresce) e (concavidade para baixo). Assim, a curva continua subindo, mas agora como uma cúpula — a inclinação diminui à medida que nos aproximamos de . Isso é coerente com a existência de um máximo em : a inclinação vai ficando cada vez menor até chegar a zero em . -
Em
temos (ponto de máximo local). Pela combinação das informações, esse máximo é realmente um pico único: à esquerda a função crescia, à direita ela passa a decrescer. -
Para
: (decrescente) e (concavidade para baixo). A curva desce como uma cúpula, isto é, a razão de descida aumenta negativamente (é íngreme, mas a inclinação vai ficando mais negativa até o ponto de inflexão em ). -
Em
tem outra inflexão: concavidade passa de baixo para cima. -
Para
: (ainda decresce) e (concavidade para cima). Então a curva continua descendo, mas agora “abre para cima” enquanto se aproxima de sua assíntota horizontal à direita .
Passo 5
Consequência lógica sobre o sinal de
em regiões e sobre o valor em
.
- Como a função é decrescente em
e tem , para cada vale e a função tende para por cima. Explicação: se uma função decresce e tem limite no infinito, então para todo o valor é maior que ; aqui , portanto para . - Como
é contínua (pressuposto implícito ao falar de derivadas) e decrecente à direita de com valores positivos, o valor no máximo também deve ser positivo: . - À esquerda, como
tende para quando e é crescente até , os valores para são próximos de e aumentam até alcançar .
Isso nos dá um panorama numérico: a curva começa bem próxima de
à esquerda, sobe passando por uma inflexão em
, continua subindo (concavidade para baixo) até atingir uma altura positiva em
, depois desce passando por inflexão em
e aproxima-se de
por cima.
Passo 6
Regras práticas para desenhar o esboço (passo a passo para você reproduzir à mão numa folha em prova).
- Desenhe duas linhas horizontais tracejadas para as assíntotas:
(à esquerda) e (à direita). - Marque verticalmente os pontos
, e no eixo . Em e haverá troca de concavidade (inflexão). Em haverá o máximo. - Comece à esquerda bem perto de
. Faça a curva subir com concavidade para cima até passar por . No traço antes de torne a curva cada vez mais inclinada (concavidade para cima). - Após
faça a curva continuar subindo, porém agora com concavidade para baixo (parecendo uma cúpula), chegando ao ponto mais alto em (marque em algum valor positivo acima de ). - Depois de
deixe a curva descer mantendo concavidade para baixo até . - Em
mude a curvatura para concavidade para cima e deixe a curva descendo mais suavemente, aproximando-se da linha por cima quando .
Dicas visuais: não force cruzamentos das assíntotas — a curva só se aproxima delas nos extremos. Também respeite o fato de que a derivada muda de sinal só em
; então não coloque outros máximos/ mínimos.
Passo 7
Verificação rápida de consistência (coisa importante para prova): por que não pode haver contradição entre monotonia e assimptotas?
- Se
fosse, por exemplo, negativa para todo , então como é decrescente aí não poderia tender para por cima. Isso mostra porque precisamos que os valores para sejam positivos (como exposto no Passo 5). - Também não pode haver outro ponto crítico (onde
) em ou sem violar o sinal estrito de . Então o único pico é em , conforme requerido.
Passo 8
Resumo das características que seu esboço deve mostrar (esta é a “assinatura” do gráfico; se estiver tudo isso, o esboço está correto):
- Assíntotas horizontais:
à esquerda e à direita. - Crescente em
; decrescente em . Portanto, máximo em com . - Pontos de inflexão em
e . Concavidade: cima em , baixo em , cima em . - Forma global: começa perto de
, sobe (muda concavidade em ), atinge um pico positivo em , desce (muda concavidade em ) e aproxima-se de por cima.
Resposta
Esboço: curva que começa próxima de
quando
, sobe com concavidade para cima até
(inflexão), continua subindo com concavidade para baixo até atingir um máximo em
com
, depois desce com concavidade para baixo até
(segunda inflexão), e finalmente desce com concavidade para cima aproximando-se horizontalmente de
por cima quando
.