Esboce um gráfico possível de uma função f que satizfaça as seguntes condições:
(a) f^{\prime}(x)>0 em (-\infty, 1), \quad f^{\prime}(x)<0 em ( 1, \infty );
(b) f^{\prime \prime}(x)>0 em (-\infty,-2) e (2, \infty), f^{\prime \prime}(x)<0 em (-2,2);
(c) \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-2, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce um gráfico possível de uma função f que satisfaça as três condições abaixo. Vou listar explicitamente o que o enunciado dá e o que é pedido, só para a gente ficar alinhado:
  • Condição (a): f^{\prime}(x)>0 para x\in(-\infty,1) e f^{\prime}(x)<0 para x\in(1,\infty).
  • Condição (b): f^{\prime\prime}(x)>0 para x\in(-\infty,-2) e para x\in(2,\infty); e f^{\prime\prime}(x)<0 para x\in(-2,2).
  • Condição (c): \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=-2 e \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=0.
O que é pedido: um esboço (um gráfico possível) que satisfaça simultaneamente (a), (b) e (c). Não há números obrigatórios para f(1), f(-2) ou f(2); só há as informações sobre monotonia, concavidade e assimptotas horizontais.

Passo 2

Interpretação da condição (a) — o que significa em palavras e como isso afeta o esboço.
  • f^{\prime}(x)>0 em (-\infty,1) significa: a função é estritamente crescente em toda a reta até x=1. Na linguagem do esboço: indo da esquerda para x=1, a curva sobe sempre (nunca desce), sem máximos locais antes de 1.
  • f^{\prime}(x)<0 em (1,\infty) significa: a função é estritamente decrescente para x>1. Ou seja, em x=1 ocorre uma mudança de crescente para decrescente, o que implica que x=1 é um ponto crítico com caráter de máximo local (e, neste caso, global entre pontos próximos).
  • Conclusão importante: x=1 é um ponto de máximo local (e o único ponto onde a monotonia muda).
Explicação didática curta: o sinal de f' diz se a curva sobe ( f'>0) ou desce ( f'<0) em cada intervalo.

Passo 3

Interpretação da condição (b) — concavidade e pontos de inflexão.
  • f^{\prime\prime}(x)>0 significa “concavidade para cima” (a curva se comporta como uma taça virada para cima, tangentemente abrindo para cima). Isso ocorre em (-\infty,-2) e em (2,\infty).
  • f^{\prime\prime}(x)<0 significa “concavidade para baixo” (a curva é como uma cúpula, abrindo para baixo). Isso ocorre em (-2,2).
  • Onde f^{\prime\prime} troca de sinal (aqui, nos pontos x=-2 e x=2), existem pontos de inflexão. Assim, x=-2 e x=2 são abrigos naturais para inflexão. Não conhecemos as ordenadas f(-2) e f(2), apenas que ali a concavidade muda.
Didática: a segunda derivada mede a curvatura local; trocar o sinal da segunda derivada indica que a curvatura muda sentido — isso é um ponto de inflexão.

Passo 4

Combinação de (a) e (b) para dividir o eixo em quatro trechos de comportamento e descrever cada trecho com detalhe (isso facilita muito o esboço).
Os intervalos de interesse, por união das condições, são: (-\infty,-2), (-2,1) (note que (-2,1)\subset(-2,2)), (1,2) e (2,\infty).
Vou descrever o comportamento em cada trecho:
  • Para x\in(-\infty,-2): temos f^{\prime}>0 (crescente) e f^{\prime\prime}>0 (concavidade para cima). Logo, ao seguir da esquerda para a direita a curva sobe e “abre para cima” — isto é, a inclinação aumenta. Além disso, pela condição (c) sabemos que quando x\to-\infty a função se aproxima de y=-2. Então, idealmente, a curva vem de perto de y=-2 (linha horizontal) crescendo com concavidade para cima enquanto nos aproximamos de x=-2.
  • Em x=-2 ocorre uma inflexão: a concavidade muda de cima para baixo.
  • Para x\in(-2,1): temos f^{\prime}>0 (ainda cresce) e f^{\prime\prime}<0 (concavidade para baixo). Assim, a curva continua subindo, mas agora como uma cúpula — a inclinação diminui à medida que nos aproximamos de x=1. Isso é coerente com a existência de um máximo em x=1: a inclinação vai ficando cada vez menor até chegar a zero em x=1.
  • Em x=1 temos f'(1)=0 (ponto de máximo local). Pela combinação das informações, esse máximo é realmente um pico único: à esquerda a função crescia, à direita ela passa a decrescer.
  • Para x\in(1,2): f^{\prime}<0 (decrescente) e f^{\prime\prime}<0 (concavidade para baixo). A curva desce como uma cúpula, isto é, a razão de descida aumenta negativamente (é íngreme, mas a inclinação vai ficando mais negativa até o ponto de inflexão em x=2).
  • Em x=2 tem outra inflexão: concavidade passa de baixo para cima.
  • Para x\in(2,\infty): f^{\prime}<0 (ainda decresce) e f^{\prime\prime}>0 (concavidade para cima). Então a curva continua descendo, mas agora “abre para cima” enquanto se aproxima de sua assíntota horizontal à direita y=0.

Passo 5

Consequência lógica sobre o sinal de f em regiões e sobre o valor em x=1.
  • Como a função é decrescente em (1,\infty) e tem \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=0, para cada x>1 vale f(x)>0 e a função tende para 0 por cima. Explicação: se uma função decresce e tem limite L no infinito, então para todo x o valor f(x) é maior que L; aqui L=0, portanto f(x)>0 para x>1.
  • Como f é contínua (pressuposto implícito ao falar de derivadas) e decrecente à direita de 1 com valores positivos, o valor no máximo f(1) também deve ser positivo: f(1)>0.
  • À esquerda, como f tende para -2 quando x\to-\infty e é crescente até 1, os valores para x\ll -2 são próximos de -2 e aumentam até alcançar f(1)>0.
Isso nos dá um panorama numérico: a curva começa bem próxima de y=-2 à esquerda, sobe passando por uma inflexão em x=-2, continua subindo (concavidade para baixo) até atingir uma altura positiva em x=1, depois desce passando por inflexão em x=2 e aproxima-se de y=0 por cima.

Passo 6

Regras práticas para desenhar o esboço (passo a passo para você reproduzir à mão numa folha em prova).
  1. Desenhe duas linhas horizontais tracejadas para as assíntotas: y=-2 (à esquerda) e y=0 (à direita).
  2. Marque verticalmente os pontos x=-2, x=1 e x=2 no eixo x. Em x=-2 e x=2 haverá troca de concavidade (inflexão). Em x=1 haverá o máximo.
  3. Comece à esquerda bem perto de y=-2. Faça a curva subir com concavidade para cima até passar por x=-2. No traço antes de -2 torne a curva cada vez mais inclinada (concavidade para cima).
  4. Após x=-2 faça a curva continuar subindo, porém agora com concavidade para baixo (parecendo uma cúpula), chegando ao ponto mais alto em x=1 (marque f(1) em algum valor positivo acima de 0).
  5. Depois de x=1 deixe a curva descer mantendo concavidade para baixo até x=2.
  6. Em x=2 mude a curvatura para concavidade para cima e deixe a curva descendo mais suavemente, aproximando-se da linha y=0 por cima quando x\to\infty.
Dicas visuais: não force cruzamentos das assíntotas — a curva só se aproxima delas nos extremos. Também respeite o fato de que a derivada muda de sinal só em x=1; então não coloque outros máximos/ mínimos.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (coisa importante para prova): por que não pode haver contradição entre monotonia e assimptotas?
  • Se f fosse, por exemplo, negativa para todo x>1, então como é decrescente aí não poderia tender para 0 por cima. Isso mostra porque precisamos que os valores para x>1 sejam positivos (como exposto no Passo 5).
  • Também não pode haver outro ponto crítico (onde f'=0) em (-\infty,1) ou (1,\infty) sem violar o sinal estrito de f'. Então o único pico é em x=1, conforme requerido.

Passo 8

Resumo das características que seu esboço deve mostrar (esta é a “assinatura” do gráfico; se estiver tudo isso, o esboço está correto):
  • Assíntotas horizontais: y=-2 à esquerda e y=0 à direita.
  • Crescente em (-\infty,1); decrescente em (1,\infty). Portanto, máximo em x=1 com f(1)>0.
  • Pontos de inflexão em x=-2 e x=2. Concavidade: cima em (-\infty,-2), baixo em (-2,2), cima em (2,\infty).
  • Forma global: começa perto de -2, sobe (muda concavidade em -2), atinge um pico positivo em 1, desce (muda concavidade em 2) e aproxima-se de 0 por cima.

Resposta

Esboço: curva que começa próxima de y=-2 quando x\to-\infty, sobe com concavidade para cima até x=-2 (inflexão), continua subindo com concavidade para baixo até atingir um máximo em x=1 com f(1)>0, depois desce com concavidade para baixo até x=2 (segunda inflexão), e finalmente desce com concavidade para cima aproximando-se horizontalmente de y=0 por cima quando x\to\infty.

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