Considere a função f: R^3 R definida por f(x, y, z)=y e^x z^2+(y-x)^4. Indique f^prime((3,2,1) ;(1,2,-13)), a derivada direcional de f em (3,2,1) segundo a direção do vetor (1,2,-13).
square-7 e^2+4 square 8 e^3-4
square-8 e^3-4 square-4
square 17 e^2+4
square 16 e^3-4

Passo 1

Temos a função f: R^3 to R definida por f(x,y,z)=y,e^x z^2+(y-x)^4. A questão pede a derivada direcional f'l((3,2,1);(1,2,-1/3)r). Vamos usar que a derivada direcional num vetor v é dada por f'(a;v)=nabla f(a)cdot v.

Passo 2

Primeiro, lembrando que o gradiente é o vetor das derivadas parciais, vamos calcular:
partial fpartial x=y,z^2,e^xz^2-4(y-x)^3,
partial fpartial y=e^xz^2+4(y-x)^3,
partial fpartial z=2xyz,e^xz^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em (x,y,z)=(3,2,1):
partial fpartial x|(3,2,1)=2,e^3+4,
partial fpartial y|(3,2,1)=e^3-4,
partial fpartial z|(3,2,1)=12,e^3
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nabla f(3,2,1)=(2e^3+4,,e^3-4,,12e^3)

Passo 4

Por fim, fazemos o produto escalar com o vetor de direção (1,2,-tfrac13):
(2e^3+4)cdot1+(e^3-4)cdot2+(12e^3)cdot(-tfrac13)
As parcelas exponenciais se cancelam e sobra apenas a soma das constantes.

Resposta

-4

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