Indique a técnica e resolva as integrais abaixo:
integral x sen 2 x d x

Passo 1

Fala! Vamos resolver a integral integral x sin 2x , dx. Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente de integrais que envolvem produtos de funções. Para resolver, a gente vai usar a técnica de integração por partes. Isso vai nos ajudar a simplificar a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv.

Passo 3

Escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin 2x , dx Rightarrow v = -12 cos 2x
A gente derivou u para achar du e integrou dv para achar v.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula:
integral x sin 2x , dx = u , v - integral v , du
Substituindo:
= x (-12 cos 2x) - integral (-12 cos 2x) dx
Simplificando:
= -12 x cos 2x + 12 integral cos 2x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que sobrou:
integral cos 2x , dx = 12 sin 2x + C
Então, substituindo de volta:
-12 x cos 2x + 12 (12 sin 2x) + C
Simplificando:
-12 x cos 2x + 14 sin 2x + C

Resposta

A integral integral x sin 2x , dx é igual a:
-12 x cos 2x + 14 sin 2x + C
onde C é a constante de integração.

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