Seja alpha: R R^3 uma curva suave tal que alpha^prime(0)=(1,1,1), alpha^prime prime(0)=(1,1,0) e alpha^prime prime prime(0)=(1,0,1). Então a torção de alpha em t=0 é:
square-19
square-13
square-23
square 0
square 13
  • -12

Passo 1

Somos dados uma curva suave alpha: RtoR^3 com
alpha'(0)=(1,1,1), alpha''(0)=(1,1,0) e alpha'''(0)=(1,0,1).
O conteúdo aqui é torção de uma curva em R^3 e vamos precisar usar a fórmula que envolve o produto vetorial e determinante.

Passo 2

A definição de torção tau de uma curva suave é dada por
tau(t)=detl(alpha'(t),,alpha''(t),,alpha'''(t)r)|alpha'(t)timesalpha''(t)|^2
Vamos aplicar essa fórmula em t=0.

Passo 3

Primeiro calculamos o produto vetorial alpha'(0)timesalpha''(0). Usando o determinante de primeira ordem,
alpha'(0)timesalpha''(0) = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 =(-1,,1,,0)

Passo 4

Em seguida, fazemos o produto escalar deste resultado com alpha'''(0):
(alpha'(0)timesalpha''(0))cdotalpha'''(0) =(-1,1,0)cdot(1,0,1) =-1

Passo 5

Agora calculamos o quadrado da norma do produto vetorial:
|alpha'(0)timesalpha''(0)|^2 =(-1)^2+1^2+0^2=2

Passo 6

Finalmente, substituímos na fórmula da torção:
tau(0)=-12=-12

Resposta

-12

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