Calcule os limites, sabendo que eles existem e são números reais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando $ x $ vai para o infinito da expressão $ \sqrt{x^{2}+3x-1} - x $. Isso está relacionado ao estudo de limites no cálculo, especialmente quando lidamos com funções que envolvem raízes e polinômios. Vamos precisar entender como simplificar expressões assim para encontrar o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observa que quando $ x $ é muito grande, o termo $ x^{2} $ domina sobre os outros termos. Então, podemos fatorar $ x^{2} $ de dentro da raiz:
Como $ x $ está indo para o infinito positivo, $ |x| = x $. Assim, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos expandir a raiz usando uma aproximação para $ x $ grande. Sabemos que para $ y $ pequeno, $ \sqrt{1 + y} \approx 1 + \frac{y}{2} $. Aqui, $ y = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}} $, que é pequeno quando $ x $ é grande. Então:
Passo 4
Substituindo essa aproximação de volta na expressão original:
Passo 5
Agora, voltamos à expressão que queremos o limite:
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite quando $ x $ vai para o infinito. O termo $ \frac{1}{2x} $ tende a zero, então:
Resposta
O limite é igual a $ \frac{3}{2} $.