Determine a área da região delimitada pelos gráficos das funções definidas pelas leis a seguir:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre os gráficos das funções $ f(x) = x^2 - 2x - 5 $ e $ g(x) = x - 1 $. Aqui, estamos usando conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular a área entre duas curvas. Para isso, vamos precisar descobrir primeiro onde essas duas funções se encontram (os pontos de interseção) e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram. Isso acontece quando $ f(x) = g(x) $. Então, igualamos as duas expressões:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $.
Passo 3
Vamos organizar a equação para ela ficar igual a zero:
Agora, temos uma equação quadrática: $ x^2 - 3x - 4 = 0 $. Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -3 $ e $ c = -4 $. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Portanto, as funções se cruzam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 4 $.
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção, vamos calcular a área entre as curvas nesse intervalo. A fórmula para a área entre duas curvas $ f(x) $ e $ g(x) $ de $ x = a $ até $ x = b $ é:
Como $ f(x) $ é uma parábola que abre para cima e $ g(x) $ é uma reta, vamos ver qual função está acima no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 4 $. Testando $ x = 0 $:
Como $ g(0) > f(0) $, a função $ g(x) $ está acima de $ f(x) $ nesse intervalo. Então, a área é:
Integrando cada termo:
Agora, avaliamos essa antiderivada de $ x = -1 $ até $ x = 4 $:
Resposta
A área da região delimitada pelos gráficos das funções $ f(x) = x^2 - 2x - 5 $ e $ g(x) = x - 1 $ é $ \frac{125}{6} $ unidades de área.