Determine a área da região delimitada pelos gráficos das funções definidas pelas leis a seguir: f(x)=x^2-2 x-5 e g(x)=x-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre os gráficos das funções $ f(x) = x^2 - 2x - 5 $ e $ g(x) = x - 1 $. Aqui, estamos usando conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular a área entre duas curvas. Para isso, vamos precisar descobrir primeiro onde essas duas funções se encontram (os pontos de interseção) e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram. Isso acontece quando $ f(x) = g(x) $. Então, igualamos as duas expressões:
f(x) = g(x)
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $.

Passo 3

Vamos organizar a equação para ela ficar igual a zero:
x^2 - 2x - 5 - x + 1 = 0 x^2 - 3x - 4 = 0
Agora, temos uma equação quadrática: $ x^2 - 3x - 4 = 0 $. Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -3 $ e $ c = -4 $. Substituindo:
a = 1
Então, temos duas soluções:
b = -3
Portanto, as funções se cruzam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 4 $.

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção, vamos calcular a área entre as curvas nesse intervalo. A fórmula para a área entre duas curvas $ f(x) $ e $ g(x) $ de $ x = a $ até $ x = b $ é:
f(x) Á
Como $ f(x) $ é uma parábola que abre para cima e $ g(x) $ é uma reta, vamos ver qual função está acima no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 4 $. Testando $ x = 0 $:
g(x)
Como $ g(0) > f(0) $, a função $ g(x) $ está acima de $ f(x) $ nesse intervalo. Então, a área é:
x = a Á
Integrando cada termo:
x = b
Agora, avaliamos essa antiderivada de $ x = -1 $ até $ x = 4 $:
Área = integrala^b |f(x) - g(x)| , dx

Resposta

A área da região delimitada pelos gráficos das funções $ f(x) = x^2 - 2x - 5 $ e $ g(x) = x - 1 $ é $ \frac{125}{6} $ unidades de área.

Exercícios relacionados