Considere a função f: R R definida por f(x)=x^2+4 x-5x-3.
Determine as assíntotas horizontais, caso existam.

Passo 1

Beleza, temos a função $ f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 5}{x - 3} $. A gente precisa descobrir se ela tem assíntotas horizontais. Para isso, vamos mexer com limites e entender um pouquinho sobre como o comportamento da função muda quando $ x $ fica muito grande positivo ou muito grande negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma assíntota horizontal. Basicamente, é uma linha reta que a função se aproxima sem nunca tocar, quando $ x $ vai pra $ +\infty $ ou $ -\infty $. Para achar isso, a gente calcula o limite da função quando $ x $ vai pra esses valores extremos.

Passo 3

Agora, vamos olhar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O numerador $ x^{2} + 4x - 5 $ é de segundo grau, e o denominador $ x - 3 $ é de primeiro grau. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, isso geralmente indica que não tem assíntota horizontal, mas sim uma assíntota oblíqua (uma reta inclinada).

Passo 4

Como o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1), concluímos que não existe uma assíntota horizontal para essa função. Em vez disso, haveria uma assíntota oblíqua, mas como a questão só pede pelas horizontais, a resposta final é que não há.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 5}{x - 3} $ não possui assíntotas horizontais.

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