Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais de
utilizando o teste da primeira derivada.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função $ f(x) = x^{3} - 27x + 1 $ está crescendo ou decrescendo, além de identificar seus extremos locais. Para isso, vamos utilizar o teste da primeira derivada, que é uma ferramenta do cálculo diferencial usada para analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando em termos de crescimento e decrescimento.
A função dada é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de $ x $ onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 27 $ é definida para todos os valores de $ x $, então vamos igualá-la a zero:
Resolvendo a equação:
Portanto, temos dois pontos críticos: $ x = -3 $ e $ x = 3 $.
Passo 4
Com os pontos críticos encontrados, vamos dividir a reta real em intervalos e determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Os pontos $ x = -3 $ e $ x = 3 $ dividem a linha dos números em três intervalos:
- $ x < -3 $
- $ -3 < x < 3 $
- $ x > 3 $
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e calcular o sinal da derivada $ f’(x) $:
- Para $ x < -3 $, por exemplo, $ x = -4 $:
Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.
- Para $ -3 < x < 3 $, por exemplo, $ x = 0 $:
Aqui, a derivada é negativa, indicando que a função está decrescendo.
- Para $ x > 3 $, por exemplo, $ x = 4 $:
Novamente, a derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora que sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo, podemos identificar os extremos locais (máximos e mínimos) observando a variação da derivada nos pontos críticos:
-
Em $ x = -3 $:
- À esquerda de $ -3 $, a derivada é positiva (função crescendo).
- À direita de $ -3 $, a derivada é negativa (função decrescendo).
Como a função passa de crescente para decrescente, $ x = -3 $ é um ponto de máximo local. -
Em $ x = 3 $:
- À esquerda de $ 3 $, a derivada é negativa (função decrescendo).
- À direita de $ 3 $, a derivada é positiva (função crescendo).
Aqui, a função passa de decrescente para crescente, então $ x = 3 $ é um ponto de mínimo local.
Resposta
A função $ f(x) = x^{3} - 27x + 1 $ está:
- Crescendo nos intervalos $ (-\infty, -3) $ e $ (3, +\infty) $.
- Decrescendo no intervalo $ (-3, 3) $.
Além disso, a função possui um máximo local em $ x = -3 $ e um mínimo local em $ x = 3 $.