Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais de f(x)=x^3-27 x+1 utilizando o teste da primeira derivada.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função $ f(x) = x^{3} - 27x + 1 $ está crescendo ou decrescendo, além de identificar seus extremos locais. Para isso, vamos utilizar o teste da primeira derivada, que é uma ferramenta do cálculo diferencial usada para analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando em termos de crescimento e decrescimento.
A função dada é:
f(x)
Calculando a derivada:
f(x) = x^3 - 27x + 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de $ x $ onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 27 $ é definida para todos os valores de $ x $, então vamos igualá-la a zero:
x
Resolvendo a equação:
f'(x) = 3x^2 - 27
Portanto, temos dois pontos críticos: $ x = -3 $ e $ x = 3 $.

Passo 4

Com os pontos críticos encontrados, vamos dividir a reta real em intervalos e determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Os pontos $ x = -3 $ e $ x = 3 $ dividem a linha dos números em três intervalos:
  1. $ x < -3 $
  2. $ -3 < x < 3 $
  3. $ x > 3 $
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e calcular o sinal da derivada $ f’(x) $:
  • Para $ x < -3 $, por exemplo, $ x = -4 $:
x = -3
Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para $ -3 < x < 3 $, por exemplo, $ x = 0 $:
x = 3
Aqui, a derivada é negativa, indicando que a função está decrescendo.
  • Para $ x > 3 $, por exemplo, $ x = 4 $:
x < -3
Novamente, a derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora que sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo, podemos identificar os extremos locais (máximos e mínimos) observando a variação da derivada nos pontos críticos:
  • Em $ x = -3 $:
    • À esquerda de $ -3 $, a derivada é positiva (função crescendo).
    • À direita de $ -3 $, a derivada é negativa (função decrescendo).
    Como a função passa de crescente para decrescente, $ x = -3 $ é um ponto de máximo local.
  • Em $ x = 3 $:
    • À esquerda de $ 3 $, a derivada é negativa (função decrescendo).
    • À direita de $ 3 $, a derivada é positiva (função crescendo).
    Aqui, a função passa de decrescente para crescente, então $ x = 3 $ é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função $ f(x) = x^{3} - 27x + 1 $ está:
  • Crescendo nos intervalos $ (-\infty, -3) $ e $ (3, +\infty) $.
  • Decrescendo no intervalo $ (-3, 3) $.
Além disso, a função possui um máximo local em $ x = -3 $ e um mínimo local em $ x = 3 $.

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