Considere a função definida por f(x)=2-x^2x^2-4. Portanto, f^prime(x)=4 x(x^2-4)^2 e, com isso, temos que f^prime prime(x)=-4(3 x^2+4)(x^2-4)^3. Responda e justifique os itens abaixo.
Indique os pontos críticos de f e os valores de máximo e/ou mínimo locais de f, se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = \frac{2 - x{2}}{x{2} - 4} $ e determinar se nesses pontos a função tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda. Vamos precisar encontrar onde a derivada primeira é zero ou não existe e, depois, usar a derivada segunda para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde a derivada primeira $ f’(x) $ é igual a zero ou onde ela não está definida.
A derivada primeira da função foi dada como:
f'(x)
Vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 4x(x^2 - 4)^2
Como uma fração só é zero quando o numerador é zero, temos:
f'(x) = 0
4x(x^2 - 4)^2 = 0
Então, x = 0 é um ponto crítico.
Agora, vamos verificar onde $ f’(x) $ não está definida. Isso ocorre quando o denominador é zero:
4x = 0
x = 0
f'(x)
(x^2 - 4)^2 = 0
Portanto, os pontos $ x = 2 $ e $ x = -2 $ também são pontos críticos, mas eles são pontos onde a função não está definida (já que o denominador original da função $ f(x) $ também seria zero). Assim, nosso único ponto crítico válido é x = 0.

Passo 3

Agora que identificamos x = 0 como ponto crítico, vamos determinar se nesse ponto a função tem um máximo ou mínimo local. Para isso, usamos a derivada segunda, que nos ajuda a entender a concavidade da função nesse ponto.
A derivada segunda foi dada como:
f''(x) = -4(3x^2 + 4)(x^2 - 4)^3
Vamos calcular $ f’’(0) $:
f''(0)
f''(0) = -4(3(0)^2 + 4)(0^2 - 4)^3
f''(0) = -4(0 + 4)(-4)^3
f''(0) = -16-64
Como $ f’’(0) > 0 $, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, o que significa que temos um mínimo local em $ x = 0 $.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{2 - x{2}}{x{2} - 4} $ tem um ponto crítico em $ x = 0 $. Nesse ponto, a função apresenta um mínimo local.

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