Considere a função definida por
. Portanto,
e, com isso, temos que
. Responda e justifique os itens abaixo.
Indique os pontos críticos de
e os valores de máximo e/ou mínimo locais de
, se existirem.
Indique os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = \frac{2 - x{2}}{x{2} - 4} $ e determinar se nesses pontos a função tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda. Vamos precisar encontrar onde a derivada primeira é zero ou não existe e, depois, usar a derivada segunda para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde a derivada primeira $ f’(x) $ é igual a zero ou onde ela não está definida.
A derivada primeira da função foi dada como:
Vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
Como uma fração só é zero quando o numerador é zero, temos:
Então, x = 0 é um ponto crítico.
Agora, vamos verificar onde $ f’(x) $ não está definida. Isso ocorre quando o denominador é zero:
Portanto, os pontos $ x = 2 $ e $ x = -2 $ também são pontos críticos, mas eles são pontos onde a função não está definida (já que o denominador original da função $ f(x) $ também seria zero). Assim, nosso único ponto crítico válido é x = 0.
Passo 3
Agora que identificamos x = 0 como ponto crítico, vamos determinar se nesse ponto a função tem um máximo ou mínimo local. Para isso, usamos a derivada segunda, que nos ajuda a entender a concavidade da função nesse ponto.
A derivada segunda foi dada como:
Vamos calcular $ f’’(0) $:
Como $ f’’(0) > 0 $, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, o que significa que temos um mínimo local em $ x = 0 $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{2 - x{2}}{x{2} - 4} $ tem um ponto crítico em $ x = 0 $. Nesse ponto, a função apresenta um mínimo local.