Responda os itens abaixo:
© Seja f uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de se- gunda ordem contínuas. Mostre que o rotacional do campo gradiente é nulo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para uma função de três variáveis f com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, o rotacional (curl) do seu gradiente é zero. O conteúdo envolve definição de gradiente, definição de rotacional em ℝ³ e o Teorema de Schwarz (igualdade das derivadas parciais mistas).

Passo 2

Definimos o campo vetorial gerado por f como o gradiente:
$$\nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},;\frac{\partial f}{\partial y},;\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).
$$
Aqui usamos a definição de gradiente de uma função escalar em três variáveis.

Passo 3

Lembramos a definição do rotacional de um campo vetorial F=(F_x,F_y,F_z) em ℝ³:
$$\nabla\times F = \biggl(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},;\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},;\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\biggr).
$$
Isso nos dá a forma geral para aplicar ao nosso caso.

Passo 4

Aplicando ao nosso F=\nabla f, cada componente do rotacional fica:
  1. Componente x:
partialpartial yl(partial fpartial zr)-partialpartial zl(partial fpartial yr)=partial^2 fpartial ypartial z-partial^2 fpartial zpartial y=0,
2) Componente y:
partial^2 fpartial zpartial x-partial^2 fpartial xpartial z=0,
  1. Componente z:
partial^2 fpartial xpartial y-partial^2 fpartial ypartial x=0
Em cada caso usamos o Teorema de Schwarz, que garante partialijf=partialjif quando as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas.

Passo 5

Como todas as três componentes do rotacional são zero, concluímos que o rotacional do gradiente de f é o vetor nulo.

Resposta

nablatimes(nabla f)=0

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