Encontre a derivada direcional
partialpartial u f(p0)
nos seguintes casos:
u=(1,-1), p0=(0,1) e f(x, y)=cos (x^2 y^2)+2 x-3 y+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = \cos(x^{2} y^{2}) + 2x - 3y + 2 $ no ponto $ p_{0} = (0, 1) $ na direção do vetor $ u = (1, -1) $. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como usar esses conceitos para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor nos dá a taxa de variação da função naquele ponto na direção especificada. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e do vetor direção.

Passo 3

O gradiente da função $ f(x, y) $, denotado por $ \nabla f $, é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f

Passo 5

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente $ \nabla f $ no ponto $ p_{0} = (0, 1) $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $ nas derivadas parciais:
nabla f
p0 = (0, 1)
Então, o gradiente no ponto $ p_{0} $ é:
x = 0

Passo 7

Agora, precisamos considerar o vetor direção $ u = (1, -1) $. Para usar o gradiente na derivada direcional, esse vetor deve ser unitário. Vamos calcular o comprimento de $ u $:
u = (1, -1)
Então, o vetor unitário na direção de $ u $ é:
u

Passo 8

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário direção:
Du f(p0) = nabla f(p0) cdot v = (2, -3) cdot ( 1raiz2, -1raiz2 )
Calculando o produto escalar:
Du f(p0) = 2 cdot 1raiz2 + (-3) cdot -1raiz2 = 2raiz2 + 3raiz2 = 5raiz2 = 5raiz22

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto $ p_{0} $ na direção de $ u $ é $ \frac{5\sqrt{2}}{2} $.

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