Encontre a derivada direcional
nos seguintes casos:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = \cos(x^{2} y^{2}) + 2x - 3y + 2 $ no ponto $ p_{0} = (0, 1) $ na direção do vetor $ u = (1, -1) $. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como usar esses conceitos para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor nos dá a taxa de variação da função naquele ponto na direção especificada. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e do vetor direção.
Passo 3
O gradiente da função $ f(x, y) $, denotado por $ \nabla f $, é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Passo 5
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente $ \nabla f $ no ponto $ p_{0} = (0, 1) $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $ nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto $ p_{0} $ é:
Passo 7
Agora, precisamos considerar o vetor direção $ u = (1, -1) $. Para usar o gradiente na derivada direcional, esse vetor deve ser unitário. Vamos calcular o comprimento de $ u $:
Então, o vetor unitário na direção de $ u $ é:
Passo 8
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário direção:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ p_{0} $ na direção de $ u $ é $ \frac{5\sqrt{2}}{2} $.