1. Questão (25 pontos):
Calcule a integral integral duplaD e^-(x^2+y^2) / 4 d A, em que D & a regiño limitads entre a curva y=raiz4-x^2 e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD e^-x^2+y^24,dA
em que D é a região no plano limitada pela curva y=raiz4-x^2 (semicírculo de raio 2) e o eixo x.
Conteúdo: uso de coordenadas polares para avaliar integrais duplas em regiões circulares.

Passo 2

Parametrizamos D em coordenadas polares via
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e theta varia de 0 a pi (cobrindo o semicírculo superior). O elemento de área é dA = r,dr,dtheta.

Passo 3

Em coordenadas polares, a integranda fica
e^-x^2+y^24 = e^-r^24,
logo a integral torna-se
integral duplaD e^-x^2+y^24,dA = integral0^pi!integral0^2 e^-r^24,r,dr,dtheta

Passo 4

Separando as integrais, note que
integral0^pidtheta = pi,
restando calcular apenas o integral radial.

Passo 5

Para a parte radial, fazemos a substituição
u = r^24 Longrightarrow du = r2,dr Longrightarrow r,dr = 2,du
Quando r=0, u=0; quando r=2, u=1. Assim,
integral0^2 r,e^-r^24,dr = integral0^1 e^-u,2,du = 2l[-e^-ur]0^1 = 2l(1-e^-1r)

Passo 6

Multiplicando a parte angular pela radial, obtemos
integral duplaD e^-x^2+y^24,dA = pi times 2l(1 - e^-1r) = 2pil(1 - e^-1r)

Resposta

2pil(1 - e^-1r)

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