- Questão (25 pontos):
Calcule a integral
, em que
& a regiño limitads entre a curva
e o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
em que
é a região no plano limitada pela curva
(semicírculo de raio 2) e o eixo
.
Conteúdo: uso de coordenadas polares para avaliar integrais duplas em regiões circulares.
Conteúdo: uso de coordenadas polares para avaliar integrais duplas em regiões circulares.
Passo 2
Parametrizamos
em coordenadas polares via
onde
e
varia de
a
(cobrindo o semicírculo superior). O elemento de área é
.
Passo 3
Em coordenadas polares, a integranda fica
logo a integral torna-se
Passo 4
Separando as integrais, note que
restando calcular apenas o integral radial.
Passo 5
Para a parte radial, fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim,
Passo 6
Multiplicando a parte angular pela radial, obtemos