Considere a função g: R R definida por g(x)=x^4-4 x^3+3 x^2.
Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os pontos críticos de uma função real e determinar onde ela cresce ou decresce. O conteúdo aqui é derivadas e monotonicidade, e vamos precisar calcular a derivada de g(x)=x^4-4x^3+3x^2, encontrar onde g'(x)=0 e analisar o sinal de g' em cada intervalo entre raízes.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada usando regras de potência e soma. Para g(x)=x^4-4x^3+3x^2 temos:
g'(x)=4x^3-12x^2+6x

Passo 3

A seguir, fatoramos g'(x) para achar as raízes de forma mais fácil. Colocando 2x em evidência:
g'(x)=2xl(2x^2-6x+3r)

Passo 4

Agora resolvemos g'(x)=0. Isso equivale a
2x=0ou2x^2-6x+3=0

Passo 5

Da primeira equação vem x=0. Da segunda, podemos dividir tudo por 2 e usar a fórmula de Bhaskara em x^2-3x+1.5=0:
x=3pmraiz9-62=3pmraiz32

Passo 6

Portanto, os pontos críticos são
x=0, x=3-raiz32, x=3+raiz32

Passo 7

Para ver onde a função cresce ou decresce, avaliamos o sinal de g'(x) em cada intervalo delimitado por esses pontos. O valor aproximado de (3-raiz3)/2 é 0,634 e de (3+raiz3)/2 é 2,366.
Em (-infty,0), basta testar, por exemplo, x=-1: g'(-1)=-22<0, logo decrescente.
Em (0,0,634), teste x=0,3: g'(0,3)approx0,828>0, logo crescente.
Em (0,634,2,366), teste x=1: g'(1)=-2<0, logo decrescente.
Em (2,366,infty), teste x=3: g'(3)=18>0, logo crescente.

Resposta

Pontos críticos: 0, (3-raiz3)/2 e (3+raiz3)/2.\nintervalos de crescimento: (0,(3-raiz3)/2) e ((3+raiz3)/2,infty).\nintervalos de decrescimento: ((3-raiz3)/2,(3+raiz3)/2) e .

Exercícios relacionados