Considere a função f definida por
f(x)=cc (x^4+8)^1 / 2 & se x<0 0 & se x=0 xx^2+1 & se x>0
[0 5 ponto ] Determine o domínio de f, D(f).

Passo 1

O enunciado define a função f por partes em três ramos dependendo de x<0, x=0 e x>0. O que precisamos é determinar onde cada expressão faz sentido (radicando não negativo e denominador não nulo) e juntar os intervalos.

Passo 2

Para x<0 temos
f(x)=raizx^4+8
Aqui o radicando é x^4+8. Como x^4>=0 para todo x, segue que
x^4+8>=8>0
para qualquer x<0. Logo não há restrição adicional e todo x<0 está no domínio.

Passo 3

Em x=0 a função é definida diretamente como
f(0)=0,
portanto x=0 pertence ao domínio sem restrições.

Passo 4

Para x>0 temos
f(x)=xx^2+1
O denominador é x^2+1. Como x^2>=0, resulta que
x^2+1>=1>0
para todo x, em particular para x>0. Não há ponto em que o denominador seja zero. Assim todo x>0 também está no domínio.

Passo 5

Juntando os três resultados, x<0, x=0 e x>0, vemos que não há nenhum xinR excluído. Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

D(f)=(-infty,infty)

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