Considere a função f definida por
f(x)=cc (x^4+8)^1 / 2 & se x<0 0 & se x=0 xx^2+1 & se x>0
[2.5 pontos] Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P=(-1,3).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da função
f(x)= (x^4+8)^1/2, & x<0, 0, & x=0, dfracxx^2+1, & x>0,
no ponto P=(-1,3). O conteúdo necessário é o cálculo de derivada pela regra da cadeia e, em seguida, a fórmula da reta tangente:
y - y0 = f'(x0),(x - x0)

Passo 2

Observamos que x0=-1<0, então usamos a fórmula
f(x)=(x^4+8)^1/2
Verificamos o valor no ponto:
f(-1)=raiz(-1)^4+8=raiz1+8=3,
confirmando que P=(-1,3) pertence ao ramo adequado.

Passo 3

Calculamos a derivada para x<0 usando a regra da cadeia. Seja g(u)=u^1/2 e u(x)=x^4+8. Então
g'(u)=tfrac12u^-1/2, u'(x)=4x^3,
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f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x) =tfrac12(x^4+8)^-1/2cdot4x^3 =2x^3raizx^4+8

Passo 4

Avaliamo f'(x) em x=-1:
f'(-1)=2(-1)^3raiz(-1)^4+8 =-2raiz9 =-23

Passo 5

Usamos a fórmula da reta tangente em (x0,y0)=(-1,3):
y - 3 = -tfrac23,(x - (-1)) Longrightarrow y - 3 = -tfrac23(x+1)
Isolando y:
y = -tfrac23x - tfrac23 + 3 = -tfrac23x + tfrac73

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -23x + 73

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